Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
605 kez görüntülendi

Erdinç adlı bir çiftçi, 600  $ m^2 $lik bir malzeme kullanarak, 

üstü de olan, dikdörtgensel bir yer  inşa etmek ister.  

Hacmin  maksimize olacağı  bu yerin boyutlarını bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.9k puan) tarafından  | 605 kez görüntülendi

Erdinç adlı bir çifti olmaz, olamaz! Süleyman olur, Ahmet, Mehmet olur. Ama Erdinç... Asla! :)

Hacim V, yüzey alanı S, boyutlar x,y,z  ise

V=xyz

S=600=2(xy+yz+xz)

Buradan z= $\frac{300-xy}{x+y} $ bulunur.

V=xy $ ( \frac {300-xy}{x+y} ) $

fonksiyonunun x>0, y>0, z>0 için maksimumu nasıl  bulunacak?


1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$V_x=-\frac{y^2 \left(x^2+2 x y-300\right)}{(x+y)^2}=0 $

$\Rightarrow y=0 \quad \text{veya} \quad x= -y\mp\sqrt{y^2+300} \Rightarrow (x_0,y_0)=(\sqrt{300},0),  \quad (x_0,y_0)=(-\sqrt{300},0)\quad \text{kritik noktalar}$

$V_y=-\frac{x^2 \left(y^2+2 x y-300\right)}{(x+y)^2}=0 $

$\Rightarrow x=0 \quad \text{veya} \quad y= -x\mp\sqrt{x^2+300} \Rightarrow (x_0,y_0)=(0,\sqrt{300}),  \quad (x_0,y_0)=(0,-\sqrt{300})\quad \text{kritik noktalar}$

$x$ ve $y$ nin sifir olmasi anlamsiz..
$x^2+2 x y-300=0$ 
$y^2+2 x y-300=0$
Cikarma islemi yaparsak,
$x^2-y^2=0 \Rightarrow (x+y)(x-y)=0 \Rightarrow x=y$  Yerine koyalim.

$x=-x+\sqrt{x^2+300} \Rightarrow 4x^2=x^2+300 \Rightarrow x=10 \Rightarrow y=10 \Rightarrow (x,y)=(10,10)$ kritik noktadir. Bu kritik nokta gercekten yerel maximum mudur?

$V_{x,x}=-\frac{2 y^2 \left(y^2+300\right)}{(x+y)^3}$

$V_{x,y}=V_{y,x}=-\frac{2 x y \left(x^2+3 xy+y^2-300\right)}{(x+y)^3}$

$V_{y,y}=-\frac{2 x^2 \left(x^2+300\right)}{(x+y)^3}$

$D(V(x,y))=\left(\begin{array}{cc}
 V_{xx} & V_{xy} \\
V_{yx}& V_{yy} \\
\end{array}
\right)$

$D(V(x_0,y_0))=\left|
\begin{array}{cc}
 V_{xx} & V_{xy} \\
V_{yx}& V_{yy} \\
\end{array}
\right|= V_{xx}(x_0,y_0) V_{yy}(x_0,y_0)- [V_{xy}(x_0,y_0) ]^2$

Eger $D(V(x_0,y_0))$>0 ve $V_{xx}(x_0,y_0)<0, $ ise  $(x_0,y_0) $noktasi   $V(x,y)$ fonksiyonunun yerel maximumudur.

Eger  $D(V(x_0,y_0))$>0 ve $V_{xx}(x_0,y_0)>0,  $ ise $ (x_0,y_0)$ noktasi   $V(x,y)$fonksiyonunun yerel minimumdur.

Eger  $D(V(x_0,y_0))<0$ ise  $ (x_0,y_0)$ noktasi   $V(x,y)$  fonksiyonunun eyer noktasidir.

Eger $D(V(x_0,y_0))=0$ ise ikinci turev testi birsey demez..

$D(V(x_0,y_0))=V_{xx}(x_0,y_0) V_{yy}(x_0,y_0)- [V_{xy}(x_0,y_0) ]^2$

$D(V(x_0,y_0))=V_{xx}(10,10) V_{yy}(10,10)- [V_{xy}(10,10) ]^2=(-10)(-10)-(-5)^2=75>0$  ve

$V_{xx}(10,10)=-10<0$ oldugundan $(x,y)=(10,10)$  noktasi yerel minimum dur.


$z=\frac{300-xy}{x+y} \Rightarrow  z=10$.  Demek ki insa etmemiz gereken boyutlari $(x,y,z)=(10,10,10)$ olan bir kupmus

(2.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Tamam, $V_x $ ve $  V_y  $   doğru.   

Buradan x,y,z boyutları nasıl bulunacak?

20,240 soru
21,759 cevap
73,401 yorum
2,068,879 kullanıcı