$\star\star\star\star$$\displaystyle\int\dfrac{sinx}{\sqrt{1-sinx}}dx=?$

Question

$\displaystyle\int\dfrac{sinx}{\sqrt{1-sinx}}dx$

Comments

$1-\sin x=t^2$ dönüşümü işimizi görür.

---

ilginiz için teşekkürler ugraşıyorum şuan.

---

ama hocam türev alırsak çok karmaşık oluyor be çıkamadım işin içinden

$\displaystyle\int \dfrac{1-t^2}{t}dx$  buradakı dx işi bozuyor.



$sinx=sin^2a$ dönüşümü daha işe yarayabilir sanırım

Answer 1

$$\sqrt{1-sinx}=\sqrt{1-2sin(x/2).cos(x/2)}=\sqrt{[sin(x/2)-cos(x/2)]^2}=|sin(x/2)-cos(x/2)|$$ dır.Tabii $x\neq\pi/2$ ve  $$sin(x/2)\geq cox(x/2)$$ olduğunu kabul etmeliyiz. O zaman verilen integral ;

$$\int\frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{sin(x/2)-cos(x/2)}dx=\int\frac{2sin(x/2)cos(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))}{sin^2(x/2)-cos^2(x/2)}dx=$$ olur.$$- \int\frac{2sin^2(x/2)cos(x/2))}{cosx}dx- \int\frac{2sin(x/2)cos^2(x/2))}{cosx}dx=- \int tanx(sin(x/2)+cos(x/2))dx$$ olur. Burada $$tan(x/2)=t$$ dönüşümü uygularsak;$$=4\int\frac{tdt}{(1-t)(1+t^2)(\sqrt{1+t^2}}$$ olacaktır. Buradan sonras da sanıyorum $$t=sec\theta$4 dönüşümü uygulanmalıdır. 

Ama bunun çok daha kısa bir çözümü mutlaka vardır.Onu bekliyoruz.

Comments

emeğinize sağlık hocam.

---

daha kısa yok gibi hocam. 

---

Bilmiyorum ama bir akademisyen hocamız belki daha kısa çözebilir.

Answer 2

$$1-\sin x=t^2\Rightarrow \sin x=1-t^2\Rightarrow \cos x=\sqrt{2t^2-t^4}$$

$$1-\sin x=t^2\Rightarrow-\cos x dx=2tdt\Rightarrow dx=\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$$

$$\int\frac{1-t^2}{t}\cdot\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt=2\int\frac{1-t^2}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$$

$$=$$

$$2\int\frac{1}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt-2\int\frac{t}{\sqrt{t^2-2t}}dt$$

$$=$$

$$2\int t^{-1}(t^2-2)^{-\frac{1}{2}}dt-2\int t(t^2-2t)^{-\frac{1}{2}}dt$$

Buradan sonra binom integrali.

Comments

hocam  üçgen çizince $cosx=\sqrt{2t^2-t^4}$ olmaz mı?

---

hatta $sin^2x+cos^2x=1$ den de gelıyor ki aynı şeyler zaten.

---

Haklısın foton. Gerekli düzenlemeyi yaptım.