∫sinx√1−sinxdx
1−sinx=t2 dönüşümü işimizi görür.
ilginiz için teşekkürler ugraşıyorum şuan.
ama hocam türev alırsak çok karmaşık oluyor be çıkamadım işin içinden∫1−t2tdx buradakı dx işi bozuyor.sinx=sin2a dönüşümü daha işe yarayabilir sanırım
√1−sinx=√1−2sin(x/2).cos(x/2)=√[sin(x/2)−cos(x/2)]2=|sin(x/2)−cos(x/2)| dır.Tabii x≠π/2 ve sin(x/2)≥cox(x/2) olduğunu kabul etmeliyiz. O zaman verilen integral ;
∫2sin(x/2)cos(x/2)sin(x/2)−cos(x/2)dx=∫2sin(x/2)cos(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))sin2(x/2)−cos2(x/2)dx= olur.−∫2sin2(x/2)cos(x/2))cosxdx−∫2sin(x/2)cos2(x/2))cosxdx=−∫tanx(sin(x/2)+cos(x/2))dx olur. Burada tan(x/2)=t dönüşümü uygularsak;=4∫tdt(1−t)(1+t2)(√1+t2 olacaktır. Buradan sonras da sanıyorum $$t=sec\theta$4 dönüşümü uygulanmalıdır.
Ama bunun çok daha kısa bir çözümü mutlaka vardır.Onu bekliyoruz.
emeğinize sağlık hocam.
daha kısa yok gibi hocam.
Bilmiyorum ama bir akademisyen hocamız belki daha kısa çözebilir.
1−sinx=t2⇒sinx=1−t2⇒cosx=√2t2−t4
1−sinx=t2⇒−cosxdx=2tdt⇒dx=2t√t4−2t2dt
∫1−t2t⋅2t√t4−2t2dt=2∫1−t2√t4−2t2dt
=
2∫1√t4−2t2dt−2∫t√t2−2tdt
2∫t−1(t2−2)−12dt−2∫t(t2−2t)−12dt
Buradan sonra binom integrali.
hocam üçgen çizince cosx=√2t2−t4 olmaz mı?
hatta sin2x+cos2x=1 den de gelıyor ki aynı şeyler zaten.
Haklısın foton. Gerekli düzenlemeyi yaptım.