Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
462 kez görüntülendi

$\displaystyle\int\dfrac{sinx}{\sqrt{1-sinx}}dx$

Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 462 kez görüntülendi

$1-\sin x=t^2$ dönüşümü işimizi görür.

ilginiz için teşekkürler ugraşıyorum şuan.

ama hocam türev alırsak çok karmaşık oluyor be çıkamadım işin içinden

$\displaystyle\int \dfrac{1-t^2}{t}dx$  buradakı dx işi bozuyor.



$sinx=sin^2a$ dönüşümü daha işe yarayabilir sanırım

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$$\sqrt{1-sinx}=\sqrt{1-2sin(x/2).cos(x/2)}=\sqrt{[sin(x/2)-cos(x/2)]^2}=|sin(x/2)-cos(x/2)|$$ dır.Tabii $x\neq\pi/2$ ve  $$sin(x/2)\geq cox(x/2)$$ olduğunu kabul etmeliyiz. O zaman verilen integral ;

$$\int\frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{sin(x/2)-cos(x/2)}dx=\int\frac{2sin(x/2)cos(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))}{sin^2(x/2)-cos^2(x/2)}dx=$$ olur.$$- \int\frac{2sin^2(x/2)cos(x/2))}{cosx}dx- \int\frac{2sin(x/2)cos^2(x/2))}{cosx}dx=- \int tanx(sin(x/2)+cos(x/2))dx$$ olur. Burada $$tan(x/2)=t$$ dönüşümü uygularsak;$$=4\int\frac{tdt}{(1-t)(1+t^2)(\sqrt{1+t^2}}$$ olacaktır. Buradan sonras da sanıyorum $$t=sec\theta$4 dönüşümü uygulanmalıdır. 

Ama bunun çok daha kısa bir çözümü mutlaka vardır.Onu bekliyoruz.

(19.2k puan) tarafından 

emeğinize sağlık hocam.

daha kısa yok gibi hocam. 

Bilmiyorum ama bir akademisyen hocamız belki daha kısa çözebilir.

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$$1-\sin x=t^2\Rightarrow \sin x=1-t^2\Rightarrow \cos x=\sqrt{2t^2-t^4}$$

$$1-\sin x=t^2\Rightarrow-\cos x dx=2tdt\Rightarrow dx=\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$$

$$\int\frac{1-t^2}{t}\cdot\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt=2\int\frac{1-t^2}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$$

$$=$$

$$2\int\frac{1}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt-2\int\frac{t}{\sqrt{t^2-2t}}dt$$

$$=$$

$$2\int t^{-1}(t^2-2)^{-\frac{1}{2}}dt-2\int t(t^2-2t)^{-\frac{1}{2}}dt$$

Buradan sonra binom integrali.

(10.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

hocam  üçgen çizince $cosx=\sqrt{2t^2-t^4}$ olmaz mı?

hatta $sin^2x+cos^2x=1$ den de gelıyor ki aynı şeyler zaten.

Haklısın foton. Gerekli düzenlemeyi yaptım.

19,697 soru
21,400 cevap
71,870 yorum
222,084 kullanıcı