Question

Sonlu bir küme üzerindeki bir topolojinin kaçık (hem kapalı, hem açık) kümelerinin sayısı hangi değerleri alabilir?

Answer 1

Eğer $A$ ve $B$ iki kaçık kümeyse $A\cap B$ ve $A\cup B$ kümeleri de kaçıktır. Böylece kaçık kümeler üzerinde
$$A\Delta B:=(A-B)\cup (B-A)$$
işlemi tanımlanabilir. Kaçık kümeler bu işlemle bir grup oluştururlar  ( $\emptyset$ etkisiz eleman olur.
Her elemanın tersi kendisidir. Ayrıca birleşme özelliğine de sağlanır.) Her elemanının derecesi 2 olan sonlu bir grubun eleman sayısı ikinin bir kuvveti olmalıdır (Bkz. Cauchy teoremi).

Answer 2

$n$ elemanlı bir $X$ topolojik uzayının kaçık alt uzaylarının kümesini $\chi \left( X\right)$ ile gösterelim.
Bir $0\leq k\leq n$ tam sayısı için $\left\vert \chi \left( X\right) \right\vert =2^{k}$ dir. Bu iddianın kanıtını n üzerinden tümevarım ile yapacağız.
 
 
$n=0$ : Bu durumda $\chi \left( X\right) =\chi \left( \phi \right) =\left\{\phi \right\}$ olduğundan  $\left\vert \chi \left( X\right) \right\vert=2^{0}=1$ dir.

$n=1$ : Bu durumda  $\chi \left( X\right) =\left\{ \phi ,X\right\}$ olduğundan $\left\vert \chi \left( X\right) \right\vert =2^{1}=2$ dir.
  
$n \geq 2$ : Önermenin eleman sayısı $n$ den küçük uzaylar için doğru olduğunu varsayalım. $\left\vert X\right\vert =n\geq 2$ olsun.
$\chi \left( X\right) =\left\{ \phi,X\right\}$ ise kanıtlanacak bir şey yoktur. O halde $\chi \left(X\right)$ de $\phi ,X$ den farklı bir $Y$ alt uzayı olduğunu varsayalım.
Bu durumda $Z=X-Y$ de  $\phi ,X$ den farklı bir kaçık kümedir.
$\varphi :\chi \left( X\right) \rightarrow \chi \left(Y\right) \times \chi \left( Z\right)$ fonksiyonunu  $\varphi \left(A\right) =\left( A\cap Y,A\cap Z\right)$ olarak tanımlayalım. Bu  fonksiyonun (1-1) ve örten olduğu kolayca görülebilir.
 $\left\vert Y\right\vert <\left\vert X\right\vert$ ve $\left\vert Z\right\vert <\left\vert X\right\vert$ olduğundan tümevarım varsayımı gereğince bir takım  $0\leq r\leq \left\vert Y\right\vert$ ve $0\leq s\leq \left\vert Z\right\vert$ ile
$\left\vert \chi \left( Y\right) \right\vert =2^{r}$ ve $\left\vert \chi \left( Z\right) \right\vert =2^{s}$ dir. O halde $\left\vert \chi \left(X\right) \right\vert =2^{r+s}$ olur. Ayrıca $r+s\leq \left\vert Y\right\vert +$ $\left\vert Z\right\vert = \left\vert X\right\vert$ dir.