Question

Topolojik uzay nedir?

Answer 1

$X$, boşkümeden farklı bir küme ve $\tau$, $X$ in kuvvet kümesinin bir altkümesi olsun. Eğer

1. $X,\emptyset \in \tau$
2. $A_1,A_2,...,A_n\in\tau$ iken $\cap_{i=1}^n A_i\in\tau$ dur.
3. $\tau$ ya ait keyfi sayıdaki elemanın birleşimi yine $\tau$ dadır.
şartları sağlanırsa $\tau$  ile birlikte $X$ kümesine topolojik uzay denir.

Answer 2

Tanımı şöyle de verebiliriz.

$X$ herhangi bir küme ve $\tau\subseteq\mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$\tau,\,\ X\text{'de topoloji}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 1) & (\mathcal{A}\subseteq\tau)(|\mathcal{A}|<\aleph_0)\Rightarrow \bigcap\mathcal{A}\in\tau \\ \\ 2) & \mathcal{A}\subseteq\tau\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau\end{array}\right.$$

$$(X,\tau), \text{  topolojik uzay}:\Leftrightarrow \tau, \ X\text{'de topoloji}$$

Comments

hocam bende topolojı başladımda biraz daha açıklarmısınız türkçe olarak  parçalı fonksiyonda anlatılmak istenen nedir?

---

Parçalı fonksiyon değil o. Şunu söylüyor: Boştan farklı bir kümenin kuvvet kümesinin bir altailesine topoloji denir ne zaman? Bu aile sonlu kesişime ve keyfi birleşime göre kapalı ise.

---

anladım sayın ve sevgili murat hocam çok teşekkür ederim.Biraz daha derinlemesine ögrenince yorarım sizleri topolojide:)

---

Üçüncü bir koşul olarak X ve boşküme elamanıdır tau verilmesi gerekmezmiydi acaba

---

$X\in\tau$ olduğu $1$'den ve $\emptyset\in \tau$ olduğu da $2$'den çıkar. Şöyle ki:

$$\left.\begin{array}{rr}(\emptyset\subseteq\tau)(|\emptyset|=0<\aleph_0)\overset{(1)}{\Rightarrow}\bigcap\emptyset\in\tau \\ \\ \bigcap\emptyset=X\end{array}\right\}\Rightarrow X\in\tau$$

$$\left.\begin{array}{rr} \emptyset\subseteq\tau\overset{(2)}{\Rightarrow}\bigcup\emptyset\in\tau \\ \\ \bigcup\emptyset=\emptyset\end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset\in\tau$$

---

evet, anladım

---

Ben de yorumumda şunu ifade etmek istedim: 

Topoloji olma koşulları içerisinde $\emptyset,X\in \tau$ yazmamıza gerek yok. Çünkü $\emptyset,X\in \tau$ olduğu -yorumumda da ifade ettiğim gibi- verdiğim iki koşuldan elde edilebiliyor. Yani bir $X$ kümesinin kuvvet kümesinin bir altailesi yanıtta yazdığım $(1)$ ve $(2)$ nolu koşulları gerçekliyorsa bu altaile $\emptyset,X\in \tau$ koşullarını da otomatikman gerçekler diyorum.