Kapalı ve açık kümeler ne demektir?

Question

Merhaba, kapalı ve açık kümeler ne demektir?

Answer 1

Metrik uzaylarda açık küme tanımı şöyle yapılır.

$(X,d)$ metrik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere

$$A, (X,d)\text{'de açık}:\Leftrightarrow (\forall a\in A)(\exists \epsilon >0)(B(a,\epsilon)\subset A)$$

$$A, (X,d)\text{'de kapalı}:\Leftrightarrow \backslash A, (X,d)\text{'de açık} $$

Bu arada $B(a,\epsilon):=\{ x \mid d(x,a)<\epsilon, x\in X\}$ şeklinde tanımlanır.

Topolojik uzaylarda ise açık küme tanımı şöyle yapılır.

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere

$$A, \tau \text{-açık}:\Leftrightarrow A\in \tau$$

$$A, \tau \text{-kapalı}:\Leftrightarrow \backslash A, \tau\text{-açık} $$

Comments

Açık ve kapalı kümeler genel olarak topolojik uzaylarda görülür. Buna başka bir soru açıp, topoloji nedir diye sorup orada cevap verelim.