İrrasyonel sayılar

Question

Nasıl oluyor da virgülden sonra sonsuza giden iki sayıyı çarpabiliyoruz? Daha da şaşırtıcısı nasıl $\sqrt2\times\sqrt2=2$ oluyor? 

Answer 1

$A=\{\langle a_n \rangle \mid \langle a_n \rangle, \mathbb{Q}\text{'da bir Cauchy dizisi} \}$ olmak üzere $$\beta = \{(\langle a_n \rangle,\langle b_n \rangle ) \mid \lim_{n\rightarrow \infty} (a_n-b_n)=0 \} \subset A^2$$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının her birine bir gerçel sayı, denklik sınıflarının (gerçel sayıların) oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de gerçel sayılar kümesi denir. Tabi burada $\mathbb{Q}$'nun ne olduğunu daha önceden biliyoruz. Onu da $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \backslash \{0\})$'daki başka bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlıyoruz.

Genel terimi $x_1=2$ ve $x_n=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n})$ olan dizi  $\mathbb{Q}$'da bir Cauchy dizisidir. Bu dizinin denklik sınıfının temsil ettiği gerçel sayı $\sqrt{2}$ ile gösterilir.

$\langle x_n \rangle . \langle x_n \rangle = \langle x_n . x_n \rangle $ dizisinin de $\mathbb{Q}$'da bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek çok zahmetli olmasa gerek. Genel terimi $x_n  x_n $ olan dizinin temsil ettiği gerçel sayıda $2$ ile gösterilir. O halde $$\sqrt{2}.\sqrt{2}=2$$

Comments

İzninizle iki küçük yazım düzeltmesi yaptım.

---

Teşekkür ederim.

---

ispata ek:

1. Bu dizinin karesinin Cauchy dizisi olduğu göstermek yerine, herhangi iki Cauchy dizisinin çarpımının da bir Cauchy dizisi olduğu (önce Cauchy dizilerini sınırlı olduğunu gösterip) "daha kolay" gösterebiliriz
2. Cevapta belirtilen $\langle x_n\rangle$ dizinin bir Cauchy dizisi olduğu (çoğu zaman monoton ve sınırlı olduğu gösterilerek) ispatlandıktan sonra ($\lim\langle x_n\rangle=L\in\mathbb{R} $ olsun)  $\lim \langle x_{n+1}\rangle=L$ ve $\lim\frac12\left(x_n+\frac2{x_n}\right)=\frac12\left(L+\frac2L\right)$ oluşundan, $L=\frac12\left(L+\frac2L\right)$ olur. Burada da $L^2=2$ elde edilir.

---

Daha da ilginci $x_1\in \mathbb{R}^+$ ve $S>0$ olmak üzere genel terimi $$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{S}{x_n})$$

 olan dizi hep $\sqrt{S}$ sayısına yakınsar.

Answer 2

Eger ayni gozle bakarsak (ayni gozle bakmak ne demekse, benim hissettim bakis acisi diyelim) su da enteresan olabilir: $\frac 17$ da virgulden sonra (tekrarli gidiyor ama) sonsuza gidiyor ve bu bir rasyonel sayi, hatta bir tam sayi ile carpinca tam sayi yapiyor: $\frac 17\cdot7=1$.

Cebirsel gozle baktigimizda eger $f \in \mathbb Z[x]$ polinomu $\mathbb Q$ uzerinde indirgenemez bir  polinom ise kokleri simetrik polinomlar icin tam sayi degeri veriyor (iki tane ayni elemanin carpimindan daha fazlasi) ve kokleri $\mathbb C-\mathbb Q$'da, yani icerisinde sanal parcasi olan elemanlar da var.