A={⟨an⟩∣⟨an⟩,Q'da bir Cauchy dizisi} olmak üzere β={(⟨an⟩,⟨bn⟩)∣limn→∞(an−bn)=0}⊂A2 bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının her birine bir gerçel sayı, denklik sınıflarının (gerçel sayıların) oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de gerçel sayılar kümesi denir. Tabi burada Q'nun ne olduğunu daha önceden biliyoruz. Onu da Z×(Z∖{0})'daki başka bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlıyoruz.
Genel terimi x1=2 ve xn=12(xn+2xn) olan dizi Q'da bir Cauchy dizisidir. Bu dizinin denklik sınıfının temsil ettiği gerçel sayı √2 ile gösterilir.
⟨xn⟩.⟨xn⟩=⟨xn.xn⟩ dizisinin de Q'da bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek çok zahmetli olmasa gerek. Genel terimi xnxn olan dizinin temsil ettiği gerçel sayıda 2 ile gösterilir. O halde √2.√2=2