İrrasyonel sayılarla ilgili bir soru

Question

 $x$ bir irrasyonel sayı olmak üzere, $x^2-2x$ ve $x^3-5x$  rasyonel sayılar ise, $x^3-5x$ kaçtır?                                                                                                                           ( UMO-2018/15)

Answer 1

İrrasyonel sayıyı: $a,b$ birer tam sayı ve $b\neq 0$ olmak üzere, $\frac{a}{b}$ olarak yazılamayan sayı olarak tanımlıyoruz. Kısaca rasyonel olmayan sayıdır. İrrasyonel sayılar kümesinin adi toplama,çıkarma,çarpma (belki de bölme) işlemlerine göre kapalı olmadığını biliyoruz. Bu soruda $x\neq \pi, x\neq e$ olduğu açık. 

Soruya göre $x^2,2x,x^3,5x$ sayıları da irrasyoneldir. Ben de $a,b,c$ ve $b=\neq 0$ birer rasyonel sayı olmak üzere $x=a+b\sqrt c$ olarak aldım. Tabii ki başka durumlarda söz konusu. 

$x^2=a^2+2ab\sqrt c+b^2c\Rightarrow x^2-2x=a^2+b^2c+(2ab-2b)\sqrt c$  olup bu sayının rasyonel olması için $2ab-2b=0 \Rightarrow a=1$ oldukları çıkar. 

$x^3-5x=(1+b\sqrt c)^3-5(1+b\sqrt c)=1+3b\sqrt c+3b^2c+b^3c\sqrt c-5-5b\sqrt c$ den $b^3c-2b=0\Rightarrow b^2c=2$ bulunur. Bu sonuç $x^3-5x$ kullanılınca sonuç $2$ çıkıyor. 

Comments

Başka durum yok. Çünki  $x^2-2x=d$ ( $d$ rasyonel) ise, ikinci derece denklem formülünden, $x=1\pm\frac12\sqrt \Delta$  ($\Delta=4+4d$ : rasyonel) şeklinde olmak zorundadır.