Reel sayılarla ilgili bir soru

Question

$a,b $ ve $c$ pozitif reel sayılar.

$k$  reel sayı

$a=6+k^2$, $b=15-2k^2$, $c=k^2-6$ .   

Verilenlere göre $a.b.c$  çarpımı en fazla kaç olabilir?

A)61        B)84         C) 96          D)120        E)125 

Comments

$15-2k^2>0\Rightarrow k^2<\frac{15}{2}$  ve $k^2-2>0\Rightarrow k^2<6$  olduklarından $ 6<k^2<\frac{15}{2}$ dir. Dolayısıyla;

$12<k^2+6<\frac{27}{2}$

$0<k^2-6<\frac{3}{2}$

$0<15-2k^2<3$  eşitsizlikleri bulunur. O zaman;

$a.b.c=(k^2+6)(k^2-6)(15-2k^2)<\frac{27}{2}.\frac{3}{2}.3=\frac{243}{4}=60,7...$ olacaktır. En küçük seçenekten bile küçük :))  Belkide önemli bir yanlış yapıyorumdur.

---

Düzeltme:

Yaptıklarınız doğru.

Sanırım soruyu hazırlayan şöyle düşünmüş:

$\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}3=5$ Öyleyse $abc\leq125$ olur.

Burda da hatalı bir şey yok AMA bu sonuç $abc=125$ olacak şekilde $k$ sayısının varlığı anlamına gelmez. 

Çünkü yukarıdaki eşitsizlikte yalnızca $a=b=c$ iken eşitlik olabilir,AMA bu durumda bu eşitlik imkansız. 

Bunu gözden kaçırmış olabilir.

---

Teşekkürler doğan hocam. Ortalıkta bunun gibi çok fazla soru dolaşıyor. 

---

HOCAM BİR SORUM VAR BİR BAKAR MISINIZ ONA YA :(