Gerçel sayılarla ilgili bir soru

Question

$x,y$ gerçel sayılar olmak üzere,$2x+16y=x^2+y^2$ eşitliği sağlanıyorsa $7x+4y$  nin alabileceği en küçük değer kaçtır?                                                                                                 UMO-2018/23

Verilen eşitlikten $(x-1)^2+(y-8)^2=65$ eşitliği elde edilebilir. Bu ise bir çember belirtiyor. Ancak sorulan ifadenin en küçük değerine nasıl ulaşabilirim?

Answer 1

Biraz daha kısa çözüm:

(Önceki çözümdeki sözleri tekrarlamayayım)

$7x+4y=c$ doğrusunun çembere teğet olması için merkezden doğruya uzaklık=yarıçap olmalıdır.

Çemberin merkezinden $7x+4y-c=0$ doğrusuna uzaklık $\frac{|7+32-c|}{\sqrt{65}}$ olduğu için eşitlik için

$|7+32-c|=65$ olmalıdır. Buradan, $c=-26$ veya $c=104$ bulunur. Küçük olanı, ($-26$) istenen değerdir.

(Burada yarıçap=$\sqrt{7^2+4^2}$ oluşu çözümü kolaylaştırıyor, rasyonel yapıyor)

Answer 2

Bir çözüm daha:

Çemberi $x=1+\sqrt{65}\cos t,\ y=8+\sqrt{65}\sin t,\ (0\leq t\leq2\pi)$ şeklinde parametrize edersek:

$\begin{align}7x+4y&=7(1+\sqrt{65}\cos t)+4(8+\sqrt{65}\sin t)=39+\sqrt{65}(7\cos t+4\sin t)\\&=39+65\left(\frac7{\sqrt{65}}\cos t+\frac4{\sqrt{65}}\sin t\right)\\&=39+65\sin(t+\alpha)\end{align}$

($\sin\alpha=\frac7{\sqrt{65}},\cos \alpha=\frac4{\sqrt{65}}$ olan  $\alpha$ değerlerinden herhangi biri için)

olur. Buradan

$-26\leq 7x+4y\leq 104$ olduğu ve her iki değere de ulaştığı görülür.

Comments

Doğan hocam çok teşekkürler. Her bir yaklaşım çok hoş,çok güzel.Ellerinize , zihninize ve emeğinize sağlık.

Answer 3

$f(x,y)=7x-4y$ fonksiyonunu minimize etmek istiyoruz..

$y=8\mp\sqrt{65-(x-1)^2}$ olur.

$y=8-\sqrt{65-(x-1)^2}$ alalim.

$f(x)=7x-4(8-\sqrt{65-(x-1)^2})$ olur. Turevini alip sifira esitleyip $x$ icin cozun.

$x=-6$ cikar. Burdan $y=4$ olur. Yesil nokta $(-6,4)$ min noktasidir. Ve $7(-6)+4(4)=-26$ en kucuk deger olur..

Comments

Teşekkürler sayın @Okkes Dulgerci. Sanıyorum $f(x,y)=7x+4y$ olmalıydı.

Answer 4

Başka bir çözüm:

 Her $c\in\mathbb{R}$ için $7x+4y=c$ doğru denklemidir. Bu doğrulardan ikisi verilen çembere teğet olur. Bunlarda $c$ değeri küçük olan istenen sayıdır.

$(7,4)$ doğruya dik olan yöndür. Merkezden, bu yönde (ve tersi yönde) yarıçap kadar ilerlediğimizde iki değme noktasını buluruz. $\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}$=yarıçap olduğu için bu doğru ailesinden teğet olanların değme noktaları $(1\pm7,8\pm4)$ yani $(-6,4)$ ve $(8,12)$ dir. Bunlardan ilkinin en küçük $c$ değerini verdiği açıktır. $c=-26$ sayısı $7x+4y$ nin verilen çember üzerindeki en küçük değeridir.

Answer 5

Bir çözüm daha:

Cauchy-Schwartz-Bunyakowski eşitsizliğinden (çember üzerinde)

$|7(x-1)+4(y-8)|\leq \sqrt{7^2+4^2}\sqrt{(x-1)^2+(y-8)^2}=65$ ve eşitlik sadece $\frac{x-1}7=\frac{y-8}4$ ve $(x-1)^2+(y-8)^2=65$ iken sağlanır. (bu şekilde $x,y\in\mathbb{R}$ vardır, çünki  $\frac{x-1}7=\frac{y-8}4$ çemberin merkezinden geçen bir doğrudur). 

Buradan

$-65\leq 7(x-1)+4(y-8)\leq 65$

$-26\leq 7x+4y\leq 104$ 

elde edilir. $\frac{x-1}7=\frac{y-8}4$  ve  $(x-1)^2+(y-8)^2=65$ olacak şeklide $(x,y)$ ikililerinden birinde 

$7x+4y=-26$ diğerinde $7x+4y=104$ olur.