Süreklilik ile ilgili bir soru

Question

Sadece tek bir noktada sürekli olan fonksiyon var mıdır? 

Answer 1

$f$ fonksiyonu $x$ rasyonel ise $f(x)=x$,  $x$ irrasyonel ise $f(x)=0$ olarak tanımlanırsa $f$ sadece $x=0$ için sürekli olur.

Comments

Yusuf hocam $f(0)=0$ olduğundan $\forall \epsilon >0$ için $B(0,\epsilon)$ açığının ters görüntüsü 

$f^{-1}(B(0,\epsilon))=?$  açık olur mu

---

$\epsilon >0$ ne olursa olsun, $A$,  $B(0, \epsilon)$  daki rasyonel sayıları göstermek üzere $f^{-1}(B(0, \epsilon)) = \left\{ 0\right\} \cup A=A$ dır. O halde cevap hayırdır. Hem neden $f^{-1}(B(0, \epsilon))$ kümesinin açık olmasını bekliyorsun?

---

Sürekli olması için açık olması gerekmez mi hocam

Answer 2

Her analiz ya da topoloji kitabı bir noktada sürekliliği,sözcükler ayni olamasa bile kavram ayni kalmak üzere, şöyle tanımlar : 

 $X$, $Y$ iki topolojik uzay, $f:X\rightarrow Y$ bir fonsiyon ve $x_{0}\in X$ olsun. $f\left( x_{0}\right)$ ın $Y$ deki her $V$ açık komşuluğu için $x_{0}$'ın $f\left( W\right) \subset V$ olacak şekilde bir açık $W$ komşuluğu bulunabiliyorsa, $f$ fonksiyonuna $x_{0}$ noktasında sürekli denir.

Verilen örneğin de kanıtladığı gibi, bu tanımdan
hareketle, $f$ fonksiyonu $x_{0}$ noktasında sürekli olsa bile,  $f\left( x_{0}\right)$ ın $Y$ deki $V$ gibi bir açık komşuluğu için  $f^{-1}\left( V\right)$ nin açık olduğunu kanılayamazsınız.

Senin bana son soruyu sormana neden olan teorem şöyle diyor : $X$, $Y$ iki topolojik uzay, $f:X\rightarrow Y$ bir fonksiyon. $f$ nin $X$ uzayının HER NOKTASINDA sürekli olması için gerek ve koşul $Y$ nin açık her $V$ alt kümesi için  $f^{-1}\left( V\right)$ açık olmasıdır.

Dikkatinden kaçmaması için "HER NOKTASINDA" sözcüklerini büyük yazdım.

Comments

Çok iyi anladım hocam. Teşekür ederim açıklamanız için

---

Yaptığınız tanıma göre $x_0=0$ olmaktadır. Peki $f(x_0)$  ın $Y$'deki her $V$ açık komşuluğu için   $f(W) \subset V$ olacak şekilde bir açık $W$ komşuluğu olduğundan nasıl emin olduk? Ayrıca $x_0$ ın her açık komşuluğu rasyonel sayılar da içermez mi? Belki de hiç irrasyonel sayı içermiyordur? Bu durumlarda sürekliliğini incelediğimiz noktanın ve görüntüsünün nasıl bir sayı ile eşlendiği önemsiz mi? 

---

$\mathbb{R}$ nin herhangi bir $V$ alt kümesi için, $0\in V$ ise $f(V)\subset V$ olur.

(elbette cevaptaki $f$ için)