Süreklilik Üzerine-II

Question

$$f(x)=\lfloor x\rfloor$$  kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$$  fonksiyonunun sürekli olduğunu süreklilik tanımından hareketle gösteriniz.

Not: $\lfloor \cdot\rfloor$: Tamdeğer fonksiyonu

Comments

sevgili murat hocam;

$\mathbb{X}$ bir küme olmak üzre

zaten $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{X}$ olmayan yani tanımlanma kümesi reel olmayan kümelerde süreklilik olmazki tanım noktalarında boşluklar oluşur buda sürekliliğe engeldir yani değeri incelemeğe gerek kalmadan tanım Reel değilde $\mathbb{R}$ \ $\mathbb{Q}$ ise zaten baştan süreksizdir diyemez miyiz ? neyi yanlış düşünüyorum

---

tamam hatamı gördüm soruya odaklanıyorum şuanda kusura bakmayın:)

---

Süreklilik tanımını tekrar gözden geçirmeni tavsiye ederim. Bu bir. İkincisi $$f(x)=sgn  x$$ kuralı ile verilen  $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun neden sürekli olduğunu anlamaya çalış.

---

hocam tanımsal değilde türkçe olarak verebilirim bu $f(x)=sgnx$  için $\forall x,(x\neq0)$ süreklidir

tam değer fonksiyonuda tam sayılar kümesinde tanımlıysa sürekli değildir çünki her tam sayı değeri -3,5 ,2 gibi bu noktalarda limit yoktur. Bundan yola çıkarak $f:\mathbb{R-Q}\longrightarrow\mathbb{R}$

herzaman süreklidir denilir.


öbür sorudaki sıkıntıda burdan kaynaklanıyor rasyonel sayılar tam sayıların üst kümesi olduğundan herzaman sürekli değildir yani süreksizdir diyebiliriz.

---

Tanım kümesi tamsayılar olan signum (işaret) fonksiyonu $0$ noktasında da süreklidir. Signum fonksiyonunun tanım kümesi gerçel sayılar kümesi olursa o zaman signum fonksiyonu $0$ noktasında sürekli olmayacaktır. Demek ki bir fonksiyonun sürekli olması ya da olmaması o fonksiyonun kuralına bağlı olduğu gibi fonksiyonun tanım kümesine de bağlıymış.

---

0 tamsayılardan biliyordum oyuzden öyle düşündüm yoksa tamamen tanıma ve değere önem veriyorum diğer sorunuzda ayrıntılı belirtmeye çalıştım sevgili hocam.

---

Hangi topolojileri kullaniyoruz. Belirtmeyince direkt cevaptaki gibi kisitlama olarak mi almaliyiz?

---

Evet. Tanım ve hedef (değer) kümeleri gerçel sayıların birer altkümesi olan fonksiyonların sürekliliğini ya da süreksizliğini incelerken aksi belirtilmedikçe tanım ve hedef kümeleri üzerindeki topolojileri, alışılmış topolojinin (gerçel sayılar kümesi üzerindeki Öklid topolojisinin) o kümelere indirgediği relatif topolojiyi alıyoruz.

Answer 1

$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{R}, f(x)=\lfloor x\rfloor$ ve $a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ olsun.

$\epsilon>0$ olmak üzere $0<\delta\leq \min\{a-\lfloor a\rfloor,\lfloor a\rfloor+1-a\}$ seçilirse

$$x\in (a-\delta,a+\delta)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\Rightarrow \Big{|}\lfloor x\rfloor-\lfloor a\rfloor\Big{|}<\epsilon$$ koşulu sağlanır yani 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(x\in (a-\delta,a+\delta)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\Rightarrow\Big{|}\lfloor x\rfloor-\lfloor a\rfloor\Big{|}<\epsilon)$$ önermesi doğru yani $$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli olur. $a$ keyfi olduğundan $f$ fonksiyonu $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$ kümesi üzerinde süreklidir.

Comments

topolojik sureklilik tanimindan yola cikan bir cevap nasil veririz?

---

$\mathbb{R}$'deki açık kümelerin (hatta sadece açık aralıkların) $f$ fonksiyonu altındaki ön görüntüsünün $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$'da açık olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Yani her $a,b\in\mathbb{R}$  ve $a<b$ için $$f^{-1}[(a,b)]=\{x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}|f(x)\in (a,b)\}$$ kümesi, $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$'da açık olduğunu göstermeliyiz.

---

$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ daki topoloji nasil gorunuyor? yada genel olarak $(A,\tau_1)$ ve $(B,\tau_2)$ birer topolojik uzay ise $A\cap B$  , $A\cup B$, $A\times B$ ve $A\setminus B$ uzerine kanonik bir topoloji nasil tanimlanir?

---

$A\cap B$ ve $A\setminus B$ genel olarak pek "anlamlı" sayılmaz. Alt küme ise alt uzay topolojisi var.

(ayrık iken) $A\cup B$ (ye benzeyen ve önemli bir "evrensel" özelliği olan)) bir topolojik uzay tanımını ben şurada sormuş ve cevaplamıştm.

$A\times B$ için standart çarpım topolojisi vardır.

---

$A\cap B$ hem $A$ nin hem de $B$ nin alt kumesi. $A$ dan ve $B$ den urettigim alt uzay topolojileri genel olarak birbirleri ile cakismiyorlar gibi dusundum, oyle mi ? Cakisirlarsa ozel bir durum var mi ?

peki bu soruda $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ topolojisini kurmam gerekiyor bir sekilde bunu nasil yapacagim ? (duzenleme) [$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ oldugunu kullanip alt uzay topolojisini mi yazmam gerekiyor?]

$A\cup B$ icin olan soruya link verebilir misiniz [duzenleme: linki simdi gordum]? Hazir baslamisken carpim topolojisinin tanimi veya onunla ilgili sorular var mi sitede ?

---

evrensel ozellik ne demek? Kategori teori ile bir ilgisi var oyle sokaktan duydugum kadariyla. Biraz daha acabilir misiniz?

---

Sitede  "Universal Property" terimini arayabilirsin.

Answer 2

$f(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subseteqq\mathbb{Z}$ dir.

$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ (alt uzay topolojisi ile) sürekli olduğunu göstermek yeterlidir.

$\mathbb{Z}$ nin alt uzay topolojisi ayrık topolojidir.

$\forall n\in\mathbb{Z}$ için $f^{-1}(n)=[n,n+1)\cap  (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=(n,n+1)\cap  (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$ olup alt uzay topolojisinde açıktır.

Bu da, $f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ nin sürekli olduğunu gösterir.

$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ de sürekli olur.

Comments

son satiri nasil yapabildik ?

---

$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\xrightarrow{f}\mathbb{Z}$ sürekli,

(alt uzay topolojisi ile, içerme) $\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ sürekli.

Bileşkesi (yine $f$ ile gösterilir) sürekli olur

---

Çok şık olmuş hocam. Doğrusu çok hoşuma gitti.