Homeomorfizmaya Dair-II

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve  $f\in Y^X$  olmak üzere

$$((X,\tau_1), \text{ kompakt uzay})((Y,\tau_2), \text{ Hausdorff})(f, \text{ bijektif})(f, \,\ (\tau_1\mbox{-}\tau_2) \text{ sürekli})$$

$$\Rightarrow$$

$$f, \text{ homeomorfizma}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$f:X\to Y$ fonksiyonunun kapalı veya açık olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır.$$\left.\begin{array}{r} A\in \mathcal{C}(X,\tau_1) \\ \\ (X,\tau_1), \text{ kompakt} \end{array} \right\}\overset{?}{\Rightarrow} \!\!\!\!\!  \begin{array}{c} \\  \\ \left. \begin{array}{r} A, \,\ \tau_1 \text{-kompakt} \\ \\ f, \,\ (\tau_1\mbox{-}\tau_2) \text{ sürekli} \end{array} \right\} \overset{?}{\Rightarrow} \begin{array}{c}\\ \\ \left. \begin{array}{r} f[A], \,\ \tau_2\text{-kompakt} \\ \\ (Y,\tau_2), \text{ Hausdorff} \end{array}\right\} \overset{?}{\Rightarrow} f[A]\in \mathcal{C}(Y,\tau_2) \end{array} \end{array} $$ olduğundan $f$ fonksiyonu kapalıdır.  O halde $f$ fonksiyonu bir homeomorfizmadır. 

Soru işaretlerinin gerekçesi için altta bulunan ilgili sorulara bakınız.