Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi

$A=\{(x,y)|x^2+(y-1)^2=1\}\setminus\{(0,2)\}\subseteq \mathbb{R}^2; \,\ \mathcal{U}^2, \,\ \mathbb{R}^2$ üzerindeki alışılmış (Öklid) topoloji ve $\mathcal{U}, \,\ \mathbb{R}$ üzerindeki alışılmış (Öklid) topoloji olmak üzere $(\mathbb{R}^2,\mathcal{U}^2)$ topolojik uzayının bir altuzayı olan $(A,\mathcal{U}^2_A)$ topolojik uzayı ile $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ topolojik uzayının homeomorf olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.4k kez görüntülendi

Hocam $\mathcal{U}$ nedir? Bir de $(A,\mathcal{U})$ ve bener biçimde $(\mathbb{R},\mathcal{U}^2)$ ikilileri nasıl topolojik uzay oluşturuyorlar. Yani, buradaki homepmorfizmadan kasıt büyük uzaylar arasında, küçük uzaylara kısıtlandığında homeomorfizma veren, bir homeomorfizma olduğu mu?

1) $\mathcal{U}, \,\ \mathbb{R}$ üzerindeki alışılmış topoloji (Öklid topolojisi)

2) $(A,\mathcal{U})$ ikilisi bir topolojik uzay oluşturmuyor.

3) $(\mathbb{R},\mathcal{U}^2)$ ikilisi de bir topolojik uzay oluşturmuyor.

4) $(A,\mathcal{U}^2_A)\cong (\mathbb{R},\mathcal{U})$ olduğunu gösteriniz deniyor. 

Soruyu iyi ifade edemedim galiba. Soruyu biraz daha düzenledim.

Ben total yanlış anlamışım :)

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İpucu: $$f(x,y)=\frac{2x}{2-y}$$ kuralı ile verilen $$f:A\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu bijektif, sürekli ve tersi de süreklidir. (Neden?) Ve bu fonksiyonun kuralını nasıl bulduk? Cevap peyder pey güncellenecektir.

(11.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(0,2)$ ve  $P=(x,y)$  çember üzerindeki noktalar olmak üzere bu noktalardan geçen doğru denklemini buluyoruz; dolayısıyla bu fonksiyon homeomorfizma şartlarını aşikar olarak sağlar. Bu fonksiyon yardımıyla $y=0$ için $P$ noktasını reel eksene resmettiğimiz açıktır (steografik izdüşüm). Sonuç olarak bir noktası çıkartılmış çember topolojik olarak bir doğruya denk (homeomorf) olmakta.

(2.8k puan) tarafından 
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,052,996 kullanıcı