Homeomorfizmaya Dair-XVII

Question

$a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ve $r,R\in\mathbb{R}^{>0}$ olsun. $X:=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\subseteq \mathbb{R}^2$ ve $Y:=\{(x,y)|(x-c)^2+(y-d)^2=R^2\}\subseteq \mathbb{R}^2$  ise $X\cong Y$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Sanıyorum küçük bir hata var soruda. $r=0$ ise bir nokta elde ediyoruz, $R \neq 0$ ise bir çember elde ediyoruz.

---

Ranki tam olan lineer fonksiyonlar homoemorfizmadir gibi bir teorem var mi bir yerlerde . Cunku Cemberi aliyorum, biraz kaydiriyorum (translasyon) sonra da buyutuyorum (scaling), bu lineer operasyonlarin hepsi full rank.

 

Sanirim "Invariance of domain de kullanilabilir". Eger $X$ ten $\mathbb{R}^2$ ye injektiv ve surekli bir fonksiyon $f$ bulabilirsem ve $Y=f(X)$ , $f$ bir homoemorfizmadir, ama suan farkettim sanirim bunun icin $X$ in acik kume olmasi gerekiyo $R^n$ de

---

Haklısın @Ozgur düzelttim.

Answer 1

$$f(x,y):=\left(\frac{R}{r}(x-a)+c,\frac{R}{r}(y-b)+d\right)$$ kuralı ile verilen $$f:X\to Y$$ fonksiyonun bir homeomorfizma olduğunu gösterelim. Bunun için $f$ fonksiyonunun birebir örten, sürekli ve tersinin sürekli olduğunu göstermeliyiz.

 

• $f$ fonksiyonunun birebir olduğunu gösterelim.

$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X$  ve  $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$ olsun.

$\begin{array}{rcl}f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)  & \Rightarrow &  \left(\frac{R}{r}(x_1-a)+c,\frac{R}{r}(y_1-b)+d\right)=\left(\frac{R}{r}(x_2-a)+c,\frac{R}{r}(y_2-b)+d\right) \\ \\  & \Rightarrow & \left(\frac{R}{r}(x_1-a)+c=\frac{R}{r}(x_2-a)+c\right)\left(\frac{R}{r}(y_1-b)+d=\frac{R}{r}(y_2-b)+d\right)  \\ \\ & \Rightarrow & (x_1=x_2)(y_1=y_2) \\ \\ & \Rightarrow & (x_1,y_1)=(x_2,y_2)\end{array}$

olduğundan $f$ fonksiyonu birebirdir.

 

• $f$ fonksiyonunun örten olduğunu gösterelim.

Her $$(x,y)\in Y$$ için $$\left(\frac{r}{R}(x-c)+a,\frac{r}{R}(y-d)+b\right)\in X$$ seçilirse $$f\left(\frac{r}{R}(x-c)+a,\frac{r}{R}(y-d)+b\right)=(x,y)$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu örtendir.

 

• $f$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterelim.

$$({\pi_1}_{|_X}\circ f)(x,y)=\frac{R}{r}(x-a)+c$$ ve $$({\pi_1}_{|_X}\circ f)(x,y)=\frac{R}{r}(y-b)+d$$ kuralı ile verilen $${\pi_1}_{|_X}\circ f$$ ve $${\pi_2}_{|_X}\circ f$$ fonksiyonları süreklidir. O halde bu linkte yer alan teorem gereğince $f$ fonksiyonu süreklidir.

 

• $f^{-1}$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterelim.

$f$ fonksiyonunun tersini bulmak zor olmasa gerek. $$f^{-1}(x,y)=\left(\frac{r}{R}(x-c)+a,\frac{r}{R}(y-d)+b\right)$$ kuralı ile verilen  $$f^{-1}:Y\to X$$ fonksiyonu $f$ fonksiyonunun tersi olur. $f$  fonksiyonunun tersi olan bu fonksiyonun sürekli olduğu bir önceki şıkta olduğu gibi kolayca gösterilebilir.

Dolayısıyla $f:X\to Y$ fonksiyonu bir homeomorfizmadır. O halde $X\cong Y$ olur.

Comments

@Can Dalkıran, yanıta $r\leq R$ veya $R\leq r$ koşulu ilave etmek gerekiyor mu?

---

Gerekmiyormuş.