İki topolojik uzaydan yeni bir topolojik uzay oluşturmak.

Question

$(X,\tau_1)$ ve $(Y,\tau_2)$ iki topolojik uzay olsun.

Öyle bir $(Z,\tau_3)$ topolojik uzayı ve $i_1:X\to Z$ ve $i_2:Y\to Z$ sürekli fonksiyonları (dönüşümleri) bulun ki:

Her $(U,\tau_4)$ topolojik uzayı ve her $f_1:X\to U$ ve her $f_2:Y\to U$ sürekli fonksiyonları (dönüşümleri) için 

$F\circ i_1=f_1$ ve $F\circ i_2=f_2$ olacak şekilde TEK bir sürekli  $F:Z\to U$ fonksiyonu (dönüşümü) var olsun.

Comments

Aşağıdaki gibi bir başlangıç yapabiliriz:

$Z$ kümesi üzerinde $$\tau_{3X}=\{A|(A\subseteq Z)(i_1^{-1}[A]\in\tau_1)\}$$ topolojisini alırsak $$i_1:X\to Z$$ fonksiyonu $\tau_1\mbox{-}\tau_{3X}$ sürekli;

$$\tau_{3Y}=\{A|(A\subseteq Z)(i_2^{-1}[A]\in\tau_2)\}$$ topolojisini alırsak $$i_2:Y\to Z$$ fonksiyonu $\tau_2\mbox{-}\tau_{3Y}$ sürekli ve $$\tau_{3}=\tau_{3X}\cap\tau_{3Y}$$ topolojisini alırsak hem $$i_1:X\to Z$$ fonksiyonu $\tau_1\mbox{-}\tau_{3}$ sürekli; hem de $$i_2:Y\to Z$$  $\tau_1\mbox{-}\tau_{3}$ sürekli olur.

---

$i_1$ ve $i_2$ fonksiyonlarının örten olması gerekiyor mu?

---

Hayır. Tam tersine örten olmayacaklar.

Answer 1

Önce $X$ ve $Y$ kümeleri ayrık iken çözelim.

$Z=X\cup Y$ olsun. $Z$ üzerinde

$\tau_3=\{A\subseteq Z:\ A\cap X\in \tau_1\text{ ve } A\cap Y\in\tau_2\}$ bir topolojidir

$i_1:X\to Z,\ i_1(x)=x\ (\forall x\in X),\ i_2:Y\to Z,\ i_2(y)=y\ (\forall y\in Y)$ fonksiyonlarının  sürekli olduğu (ve görüntülerine homeomorfizma olduğu  da) kolayca gösterilir.

$f_1:X\to U,\ f_2:Y\to U$ sürekli fonksiyonları verilsin. 

$F:Z\to U:\   F(t)=\begin{cases}f_1(t),\ t\in X\text{ ise}\\f_2(t),\ t\in Y\text{ ise}\end{cases}$ olarak tanımlayabiliriz. $F\circ i_1=f_1,\ F\circ i_2=f_2$ olduğu ve böyle bir fonksiyonun biricik oluşu, $Z$ nin ve $F$ nin tanımından aşikardır. 

Her $V\in \tau_4$ için $F^{-1}(V)=f_1^{-1}(V)\cup f_2^{-1}(V)$ olur. ( $f_1,f_2$ sürekli oldukları için)  $F^{-1}(V)\cap X=f_1^{-1}(V)\in\tau_1$ ve $F^{-1}(V)\cap Y=f_2^{-1}(V)\in\tau_2$ olur, dolayısıyla $F$ süreklidir.

Soru: $X\cap Y\neq\emptyset$ olduğunu nere(ler)de kullandım?

$X\cap Y\neq\emptyset$ ise $X$ yerine $X\times\{0\},\ Y \text{ yerine }Y\times\{1\}$ kullanarak benzer şekilde $Z,i_1,i_2$ ve $F$ oluşturulur.