Question

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}$ için Drichlet serisi açılımı nedir?

Comments

Bu seri öylesine bir seri mi? Yoksa $\phi(n)$ olması bize bir şeyler veriyor mu? Veriyorsa ne veriyor? 

Son soruyu 'evet, veriyor' cevabıyla karşılaşmamak için ekledim :)

Answer 1

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{g(m)}{m^s}=\sum\limits_{m,n=1}^{\infty} \frac{f(n)g(m)}{(nm)^s}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sum_{d|n}f(d)g(n/d)}{n^s}$

2)  $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^s}={\zeta(s-1)}$ ve  $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)}$

3)  $\sum\limits_{d|n} {\mu(d)}\frac nd=\phi(n)$

4) Bunlarin hepsini kullanirsak  $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta{(s-1)}}{\zeta(s)}$

Comments

3. adim icin bu linke bakilabilir.