Question

$t \in [-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]$ icin $F(t) = \sin t$ ise $\displaystyle\int_{ - \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} {x\ dF(x) = ?} $

(Riemann Integral ile ilgili)

Comments

Daha ziyade Stieltjes integraliyle alakalı.

---

bu soru ile alakalıymış.

Answer 1

$u=x$ ve $v=sin x$ dönüşümü yapılıp parçalı integral alınırsa sorudaki integral şuna döner $$x\sin x|_{-\pi/2}^{\pi/2}-\int_{\pi/2}^{\pi/2}\sin tdt$$

Comments

Tesekkurler

$\int\limits_a^b {fd\alpha  = } \int\limits_a^b {f(x)\alpha '(x)} $ diye bir teorem varmis.  sonuc dediginiz gibi cikiyor. cevap $\pi/2 - 1$

---

Bahsettiğiniz teoremin geçerli olması için $\alpha '$ fonksiyonunun SR mânâda integrallenebilir olması lâzım (ki $\cos x$ bu şartı sağlıyor).

---

SR nedir?     

---

Riemann-Stieltjes'in kısaltması olarak kullandım.

Answer 2

$f$ in $\alpha$ gonksiyonuna göre Riemann stieltjeh integrali $\int\limits_a^b fd\alpha$ eğer $alpha$ türetilenilie fonksiyonsa

 $$\int\limits_a^b f(x)\alpha'(x)dx$$

halini alır ki bu ise Riemann integralidir.