Analitik sayılar teorisinde çokça kullanılan bir numara var. Amaç ∑a≤n≤bf(n)
toplamını hesaplamak. Bu hesabı yaparken şu şekilde argümanlar kullanılmakta: Stieltjes integral teorisi sayesinde
∑a≤n≤bf(n)=∫baf(t)d[t]
olur. Tam değer fonksiyonunu
[t]=t−{t}
biçiminde yazarsak (
{t} ile
t'nin rsayonel kısmını gösteriyorum) yukarıdaki integrali şuna dönüştürebiliriz:
∫baf(t)dt−∫baf(t)d{t}
Şimdi
{t} yerine
B1(t)={t}−1/2 yazalım. Buradaki amaç doğru çekirdeği seçmek (artık her ne demekse- ikinci soru). Şimdi elimizdeki integral şuna dönüştü:
∫baf(t)dt−∫baf(t)dB1(t)
Bu ifadedeki ikinci integral
dB1(t)=dv ve
u=f(t) yazılarak hesaplanabilir:
(f(b)−f(a))B1−∫baB1(t)f′(t)dt
Buradan da Euler-Maclaurin toplam formülü ispatlanabilir. Gelgelelim ki gelgelelim, yukarıda sözünü ettiğim ilk eşitliği anlamlandırmak nasıl mümkün, orası biraz karışık. Bu eşitlik nasıl anlamlandırılabilir?