Drichlet karakterleri için Euler çarpımı

Question

$\chi:\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ bir homomorfizma olsun. Aşağıdaki eşitliği $s>1$ için ispatlayın: $$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\chi(\overline{n})}{n^s}=\prod_{\text{$p$ asal}}(1-\chi(\overline{p})\cdot p^s)^{-1}$$

Comments

$p$'nin uzerinde cizgi olmayacak galiba..

---

$\chi$ bölüm grubu üzerinde tanımlanmış olduğu için $p$'nin üzerinde de çizgi olması gerekiyor.

---

o cizgi mod anlaminda mi :) yani baska ne olabilir ki, eslenik gibi dusundum bir an.. 10 kere dusundukten sonra anladim :) israr edince oluyormus.. ben denedim oldu, diger arkadaslara da tavsiyem..

---

Bu durumda $n\in\mathbb{N}$ için $\overline{n}$'e gösterdiğin anlayış takdire şayan :)

Answer 1

$\chi$ carpimsal oldugundan genellestirilmis Euler carpimindan (sitemizdeki bir soru)  $$\sum\limits_{n \in \mathbb{N}}\frac{\chi(\bar n)}{n^s}$$ serisinin yakinsakligi ile $$\prod \limits_{p \: \text{asal}}(1-\chi(\bar p)p^s)^{-1}$$ serisinin yakinsakligi ayni ve ayni yere yakinsarlar.

Yakinsak mi peki bu seri?: Drichlet testi'nden yakinsak oldugu basitce geliyor. 

Comments

Bu ikisinin yakınsaklık bilgilerinin aynı olmaları aynı yere yakınsadıkları anlamına gelmez ama.

---

duzenledim :)

---

sağolsun gülücük işareti 12 karaktere tamamlamayı sağlıyor. çok iş görüyor :)

---

daha iyi bir yontem gordum, bosluk birakma..

---

                                

---

Bozdun                  

---

Bilgi paylasimi diyelim..