Önce Cos3x=4Cos3(x)−3Cos(x) ve Sin(2x)=2Sin(x).Cos(x) olduklarını hatırlayalım. İnteğrali alınacak olan fonksiyon:
[2Sin(x).Cos(x)]3.[4Cos3(x)−3Cos(x)]2
=[8Sin3(x).Cos3(x)][16Cos6(x)−24Cos4(x)+9Cos2(x)]
=128Sin3(x).Cos9(x)−192Sin3(x).Cos7(x)+72Sin3(x).Cos5(x) olacaktır. İntegralini ayrı ayrı yazalım;
I1=128∫Sin3(x).Cos9(x).d(x),
I2=−192∫Sin3(x).Cos7(x).d(x),
I3=72∫Sin3(x).Cos5(x).d(x) Bu integrallerin alınması gayet kolaydır. Örneğin I1 integralini alalım.
I1=128∫Sin3(x).Cos9(x).d(x)
=128∫Sin(x).Sin2(x).Cos9(x).d(x) ve
=128∫Sin(x).(1−Cos2(x)).Cos9(x).d(x)
=128∫Sin(x).(Cos9(x)−Cos11(x)).d(x) olur. Cos(x)=a denirse −Sin(x)d(x)=d(a) olur. İntegral: −128∫(a9−a11)d(a) =−128(a1010−a1212) =−128(Cos10(x)10−Cos12(x)12)bulunur. Benzer yolla:
I2=192(Cos8(x)8−Cos10(x)10),
I3=−72(Cos6(x)6−Cos8(x)8), olur. İstenen integral I1+I2+I3 dir.