Question

$\displaystyle\int\sin^3(2x)\cos^2(3x)\;dx$

Answer 1

Önce $Cos3x= 4Cos^3(x)-3Cos(x)$  ve $Sin(2x)=2Sin(x).Cos(x) $  olduklarını hatırlayalım. İnteğrali alınacak olan fonksiyon:

$ [2Sin(x).Cos(x)]^3.[4Cos^3(x)-3Cos(x)]^2$

=$[8Sin^3(x).Cos^3(x)][16Cos^6(x)-24Cos^4(x)+9Cos^2(x)]$

=$128Sin^3(x).Cos^9(x)-192Sin^3(x).Cos^7(x)+72Sin^3(x).Cos^5(x)$ olacaktır. İntegralini ayrı ayrı yazalım;

$I_1=128\int Sin^3(x).Cos^9(x).d(x)$,

$I_2=-192\int Sin^3(x).Cos^7(x).d(x)$,

$I_3=72\int Sin^3(x).Cos^5(x).d(x)$ Bu integrallerin alınması gayet kolaydır.  Örneğin $I_1$ integralini alalım.

$I_1=128\int Sin^3(x).Cos^9(x).d(x)$

=$128\int Sin(x).Sin^2(x).Cos^9(x).d(x)$ ve 

=$128\int Sin(x).(1-Cos^2(x)).Cos^9(x).d(x)$

=$128\int Sin(x).(Cos^9(x)-Cos^{11}(x)).d(x)$ olur. $Cos(x)=a$ denirse $-Sin(x)d(x)= d(a)$ olur. İntegral: $-128\int( a^9-a^{11})d(a)$ =$ -128 (\frac {a^{10}}{10}-\frac {a^{12}}{12}) $ =$ -128 (\frac {Cos^{10}(x)}{10}-\frac {Cos^{12}(x)}{12}) $bulunur. Benzer yolla: 

$I_2= 192(\frac {Cos^{8}(x)}{8}-\frac {Cos^{10}(x)}{10})$, 

$I_3=-72 (\frac {Cos^{6}(x)}{6}-\frac {Cos^{8}(x)}{8})$, olur. İstenen integral $I_1+I_2+I_3$ dir.

Answer 2

Genel yontem:

$\sin(a)\sin(b)$, $\sin(a)\cos(b)$ ya da $\cos(a)\cos(b)$'yi kullanarak carpimimi toplama cevirebiriz. (Demek ki iki adet carpim olsaydi hemen cozebilecektik)

Surekli acilim formullerini uyguladigimizda  en sonunda sadece basit trigonometrik toplam elde ederiz, integralini almak kolay olur.


Soru: Basitlestirmek icin baska degisimler yapilir mi? Neden olmasin. Mesela $\sin^4 x\cos x$ icin 
hic bu kadar ugrasmaya gerek yok. Fakat yukaridaki algoritma her zaman cozumu verir.