Düzgün Süreklilik-V

Question

$(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

"$(X,d_1)$ metrik uzayındaki her Cauchy dizisinin $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsü $(Y,d_2)$ metrik uzayında Cauchy dizisi ise $f$ fonksiyonu düzgün süreklidir"

önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Answer 1

önce metrik uzaylarda düzgün süreklilik ne demek, onu tanımlamak lazım.

tanım: (X,d) ve (Y,e) metrik uzaylar olmak üzere, bir $f: \ (X,d) \rightarrow (Y,e)$ fonksiyonu verilsin. Eğer her $\epsilon > 0$ için $d(x,x^{'}) < \delta$ olduğunda $e(f(x),f(x^{'})) < \epsilon$ olacak şekilde sadece $\epsilon$'a bağlı bir $\delta > 0$ sayısı varsa f'ye düzgün sürekli denir.

yukarıdaki teoremin bir başka ifadesi şudur: X ve Y metrik uzaylar, $f: \ X \rightarrow Y$ düzgün sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer $(x_n)$ X metrik uzayı altında bir Cauchy dizisi ise $f(x_n)$ de Y altında bir Cauchy dizisidir.

teoremin ispatı: $\epsilon >0$ olsun. düzgün sürekliliğin tanımından, $\forall \epsilon > 0$ için $d_1(x,x^{'}) < \delta$ olduğunda $d_2(f(x),f(x^{'})) < \epsilon$ olacak şekilde $\epsilon$'a bağlı bir $\delta > 0$ sayısı vardır.

o zaman $(x_n), (X,d_1)$ metrik uzayı altında bir Cauchy dizisi olsun. bu durumda $\forall \ m,n \geq N$ için $d_1(x_n,x_m) < \delta$ olacak şekilde bir $N \in \mathbb{N}$ sayısı bulunabilir. $(x_n)$ bir Cauchy dizisi olduğuna göre bunun görüntüsü olan $f(x_n)$ de $(Y,d_2)$ metrik uzayı altında Cauchy dizisidir ve böylece $\forall \ m,n \geq N$ için $d_2(f(x_n),f(x_m)) < \epsilon$ olacağından $\epsilon$'a bağlı bir $\delta > 0$ sayısı vardır deriz ki, böylece istenen gösterilmiş olur.