Olimpiyat sorusu B-2

Question

r metre yarıçaplı bir daire biçimindeki adacığın merkezinde duran bir çekirge $\dfrac{1}{2}$ metrelik bir atlayışla başlayıp, her seferinde  $90^{ ^{"}}$(derece) sağa veya sola dönerek bir öncekinin yarısı kadar uzunluğunda atlayış yapıyor.Sonlu sayıda atlayışta çekirgenin suya varamamasını sağlayan en küçük r değeri nedir?

Comments

snakedeki gibi büküle büküle ve snake ile alakasız yarısı kadar ilerliyor veya lokumcuları çalışırken izlediyseniz büküp üste atıp bölüp tekrar üste atıp böyle böyle giden bir eylem yapıyorlar . ama bu soruda r belli olmadıgı için 2nin katlarımı 3ün katlarımı 4ün katlarımı bilenemeyeceginden tam bi model çıkaramadım ben.

Answer 1

$\begin{align*} & \sum ^{\infty }a_{n}=\dfrac {a_{1}} {1-r}|r_{2}=\dfrac {\dfrac {1} {16}} {\dfrac {1} {4}}=\dfrac {1} {4}\left[ \dfrac {\dfrac {1} {4}} {1-\dfrac {1} {4}}\right] =\dfrac {1} {3}\\ & n=1\\ & r_{1}=\dfrac {\dfrac {1} {8}} {\dfrac {1} {2}}=\dfrac {1} {4}\left[ \dfrac {\dfrac {1} {2}} {1-\dfrac {1} {4}}\right] _{1}=\dfrac {2} {3}\end{align*}$


Cevap silinmiş. Latex'le anlatması zor olacak ama anlatayım.

Aynı snake gibi düşünün düşey yönde olanların toplamı bir dik üçgenin üst kenarını verecek.Yatay yöndeki hareketlerin toplamı alt kenarı verecek. r'leri bulurken r1 düşey yöndeki 2.nin 1.ye oranı r2 yatay yönde 2.nin 1.ye oranı olarak buldum ve formülde uyguladım.

Kenarları bulduk şimdi 2/3 ve 1/3' e pisagor uygulayarak yarıçap olan hipotenüsü buluyoruz.

Umarım anlaşılır olmuştur.

Comments

ben böyle bir çözüm buldum. yanlış mıdır ?

edit: Bu çözüm karıncanın adadan dışarı çıkma ihtimalini ortadan kaldıramayan bir çözüm olduğu için cevap yanlış bulunuyor. Sorunun çözümünde karıncanın yapabileceği hareketlerden sadece biri göz önüne alınarak cevap bulunuyor ama doğru olan yukarıdaki çözüm karıncanın tüm hareket ihtimalleri dahilindeki daire adayı çizmiş oluyor.

---

Cevap $ \frac{\sqrt{5}}{3} $ ama mantıklı bir yol gibi gözüküyor biraz daha açarmısın ne yaptığını.

---

@dpc benimde en başta yaptıgım şeyı yapmışsın birşeyi atlıyoruz biz yada yanlış yapıyoruz . cevap $\dfrac{\sqrt5}{3}olmalı$

---

ben direk basit yolla cekirgenin sonsuza kadar kendi icinde bir hareket yapacagini öngordum ve sonucu ona gore buldum. ilk hareketi dik ucgenin bir kenari ikinci hareketi de dik ucgenin diger kenari ve hipotenus de yaricap oluyor dairenin. cozumun neden yanlis oldugunu anlayamadim bu arada.