Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

$$d_1(x,y):=\Big{|}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\Big{|}$$

kuralı ile verilen $$d_1:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$

metriği ile

$$d_2(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=y \\ 1 & , & x\neq y \end{array}\right.$$

kuralı ile verilen

$$d_2:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$ metriğinin topolojik denk olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi

hocam bunlar topoloji degilmi. Yanı cebırsel degıl normal topolojı

Topoloji değil mi derken?

topolojiyle yeni tanışıyorumda hocam önbilgi olarak kaydediyorum bu soruları oyuzden sordum

Bu metriklerin düzgün denk olmadıklarını bu linkte bulabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Tanım: $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset {T}\sim d_2:\Leftrightarrow \tau_{d_1}= \tau_{d_2}$$

 

$$\left.\begin{array}{rr}n\in\mathbb{N}\Rightarrow B^{d_1}\left(n,\frac{1}{n(n+1)}\right)=\{n\}\in\tau_{d_1}\Rightarrow \tau_{d_1}=2^{\mathbb{N}}\\ \\ n\in\mathbb{N}\Rightarrow B^{d_2}\left(n,1\right)=\{n\}\in\tau_{d_2}\Rightarrow \tau_{d_2}=2^{\mathbb{N}}\end{array}\right\}\Rightarrow\tau_{d_1}=\tau_{d_2} $$

olduğundan $d_1$ metriği ile $d_2$ metriği birbirine topolojik denktir. Bu iki metriğin düzgün denk olmadığını görmek için bu linke bakabilirsiniz.

Not: $(X,d)$ metrik uzay olmak üzere $$\tau_d:=\{A|(A\subseteq X)(A, \ d\text{-açık})\}.$$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,053,020 kullanıcı