Kaç farklı $(x,y,z,w)$ gerçel sayı dörtlüsü vardır?

Question

$x^3+2=3y$, $y^3+2=3z$, $z^3+2=3w$, $w^3+2=3x$ eşitliklerini sağlayan kaç farklı $(x,y,z,w)$ gerçel sayı dörtlüsü vardır?

Comments

$x^3-1=3(y-1)$, $y^3-1=3(z-1)$, $z^3-1=3(w-1)$, $w^3-1=3(x-1)$ ve $x^3+8=3(y+2)$, $y^3+8=3(z+2)$, $z^3+8=3(w+2)$, $w^3+8=3(x+2)$ denklemlerini elde edip taraf tarafa çarptım. $(x^2+x+1)(y^2+y+1)(z^2+z+1)(w^2+w+1)$

$=(x^2-2x+4)(y^2-2y+4)(z^2-2z+4)(w^2-2w+4)=81$ eşitliğini elde ettim fakat birşey çıkmadı

---

(1,1,1,1 )ve (-2 ,-2,-2,-2) iki çözüm..

---

Deneyerek mi çıktı?

Answer 1

Değişkenlerin simetrik olmaları (benzer özellikte)  sebebiyle $x=y=z=w$ olarak alınabilir. Birinci denklem $x^3-3x+2=0\Rightarrow [(x-1)^2(x+2)=0\Rightarrow x=1,x=-2$ olur. O halde $x=y=z=w=1, \quad x=y=z=w=-2$ değerleri birer çözümdür.

Comments

Teşekkürler hocam.

---

Önemli değil. Başarılar.

Answer 2

Sizin yaptiğiniz işlemlerden goruluyor...

Son denklem yanlis yazmişsiniz galiba...

$(x^2-2x+4)$  ve diğerleride ayni şekilde olacak.

Buradan her bir çarpan $( x^2-2x+4)=(x-1)^2+3\ge 3$ olur. Carpim 81 olduguna gore her biri 1,1,1,1 den başka sayi olamaz. Taraf tarafa çarpip Sadeleştirme yaparken sifirdan farkli olmali sartini eklemek gerekir

Comments

Sağolun hocam. Demek ki az daha zorlasam çözecekmişim soruyu bazen bir yere kadar getirip göremiyor insan :)