Kaç gerçel sayı ikilisi vardır?

Question

$x^4+y^4+2x^2y+2xy^2+2=x^2+y^2+2x+2y$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

Comments

Soruda oldukça ilerledim aslında, ama soruyu büyük oranda hallettiği için şimdilik yazmıyorum. Sorun şu ki ben cevabı $3$ buldum ama cevap anahtarı $4$ diyor.

---

https://www.wolframalpha.com/input/?lk=3&i=x%3D1-y%5E2,+y%3D1-x%5E2

Wofram-alpha da $4$ kök buldu ama o $4$. kökü "insan gözleriyle" nasıl görebiliriz?

---

Soruyu $x=1-y^2, y=1-x^2$indirgemissin galiba. Boyle ise $x-1+(1-x^2)^2=0$ gelecek Bunu da $x(x-1)$ parantezine alacaksin.  geriye ikinci dereceden bir polinom kalacak.

---

Ayrica ya diger iki kok de reel ya da saf karmasik olur. Yani cevap ya 2 ya 4 olur. 3 nasil buldun?

---

Hocam o indirgediğim fonksiyonları aynen wolfram-alphadaki gibi parabolünü çizdim fakat o $0,1$ ve $1,0$ noktaları arasındaki 4. kökü farkedemedim haliyle.

---

Hocam sorunun cozumunu ogrenebilir miyim , indirgeme islemini nasil yaptiniz?

---

Yukarıdaki denklemi $x^4+y^2+1+2(x^2y-x^2-y)+y^4+x^2+1+2(xy^2-y^2-x)=0$ şeklinde yazdıktan sonra $(x^2+y-1)^2+(y^2+x-1)^2=0$ olduğunu görebilirsin. Şu an yazınca kolay gibi görünüyor olabilir ama bunu görmem yarım saatimi aldı :)

---

Anladim hocam tesekkurler :)

---

Sercan hocam çok sağolun anladım. O halde cevabı yazıyorum cevapsız görünmesin :) @mrveoz ne demek rica ederim :)

Answer 1

Denklemi $x^4+y+2+1+2(x^2y-x^2-y)+y^4+x^2+1+2(xy^2-y^2-x)=0$ şeklinde yazarsak $(x^2+y-1)^2+(y^2+x-1)^2=0$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. O halde $y=1-x^2$ ve $x=1-y^2$ olmalıdır. İkinci denklemde $x=1-(1-x^2)^2$ şeklinde yazarsak $x^4+2x^2+x=x(x-1)(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2})=0$ olacağından denklemi sağlayan $4$ farklı $(x,y)$ ikilisi vardır.