Question

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $x^3+y^3+3xy=1$ eşitliği sağlanıyorsa $x+y$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

TÜBİTAK 2024 Ortaokul Matematik Olimpiyadı

Comments

Daha hoş bir çözümü olmalı gibi bir his var.

---

Sercan sen çözümde $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)$$  özdeşliğini kullanmışsın.

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ yazarsak da aynı kapıya çıkıyor.

Eşitsizlik ve değişken değiştirme kullanarak da Lokman Gökçe'nin bir çözümü var.

 

İkinci çarpan biraz uzun ama \begin{align}x^2+y^2-xy+x+y+1&=x^2+(1-y)x+y^2+y+1\\&=\left(x+\frac{1-y}{2}\right)^2-\left(\frac{1-y}{2}\right)^2+y^2+y+1\\&=\left(x+\frac{1-y}{2}\right)^2+\frac 34(y+1)^2\end{align} şeklinde de çarpanlarına ayrılabilir.

---

Özdeşlik gibi değil de. Bilemedim. His işte.

$u=-x$ ve $v=-y$ dersek $u^3+v^3+1^3=3uv1$ bize pozitif kısımda $u=v=1$ olduğunu verir. Bu da $x=y=-1$ kısmı.

---

Ortaokul seviyesinde değil ama $x^2-xy+y^2+x+y+1=0$ kısmını konik olarak düşünürsek $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$ genel konik denkleminde $xy$ terimini yok etmek için kullanılan $\tan2\theta=\dfrac{B}{A-C}=\dfrac{-1}{0}$, $\theta=\pi/4$   $$x=X\cos\theta-Y\sin\theta=(X-Y)/\sqrt{2}$$  $$y=X\sin\theta+Y\cos\theta=(X+Y)/\sqrt{2}$$  dönüşümleri ile $$(X+\sqrt{2})^2+3Y^2=0$$  ve $x=y=-1$ bulunuyor.

Geometrik olarak yorumlarsak $x^3+y^3+3xy-1=0$ eğrisi $x+y=1$ doğrusu ile $(-1,-1)$ noktasından ibaret.

---

$x^3+y^3+z^3-3xyz$ homojen ve simetrik olmasını ve $1ww^2=1$ olduğunu kullanırsak çarpanların $x+y+z$, $x+wy+w^2z$ ve $x+w^2y+wz$ olduğunu görüp $z=-1$ için gerçel çözümlerin $x+y=1$ ve $x=y=-1$ olduğunu görürüz.

Answer 1

İlk adım olarak $$0=x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)=(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)$$ eşitliği sağlanır.  Bu yazım ile soru $$x^2+y^2+1-xy+x+y=0$$ eşitliğini çözmeye indirgenir.

Hoş bir biçimde kareler toplamı olarak yazmak için $2$ ile çarpalım. Bu durumda \begin{align}0\ &=2x^2+2y^2+2-2xy+2x+2y\\ &=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)\\ &=(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2\end{align} eşitliği sağlanır.

Sonuç olarak $x+y$ ifadesinin alabileceği değerler $1$ ve $(-1)+(-1)=-2$ olur.

_________________________________________________
Son kısım için $(x-y)^2+(x+1)(y+1)=0$ olarak $(u-v)^2+uv=0$ olarak yazmak da iş görür.