Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
793 kez görüntülendi

$x^3+2=3y$, $y^3+2=3z$, $z^3+2=3w$, $w^3+2=3x$ eşitliklerini sağlayan kaç farklı $(x,y,z,w)$ gerçel sayı dörtlüsü vardır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 793 kez görüntülendi

$x^3-1=3(y-1)$, $y^3-1=3(z-1)$, $z^3-1=3(w-1)$, $w^3-1=3(x-1)$ ve $x^3+8=3(y+2)$, $y^3+8=3(z+2)$, $z^3+8=3(w+2)$, $w^3+8=3(x+2)$ denklemlerini elde edip taraf tarafa çarptım. $(x^2+x+1)(y^2+y+1)(z^2+z+1)(w^2+w+1)$

$=(x^2-2x+4)(y^2-2y+4)(z^2-2z+4)(w^2-2w+4)=81$ eşitliğini elde ettim fakat birşey çıkmadı

(1,1,1,1 )ve (-2 ,-2,-2,-2) iki çözüm..

Deneyerek mi çıktı?

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Değişkenlerin simetrik olmaları (benzer özellikte)  sebebiyle $x=y=z=w$ olarak alınabilir. Birinci denklem $x^3-3x+2=0\Rightarrow [(x-1)^2(x+2)=0\Rightarrow x=1,x=-2$ olur. O halde $x=y=z=w=1, \quad x=y=z=w=-2$ değerleri birer çözümdür.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkürler hocam.

Önemli değil. Başarılar.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Sizin yaptiğiniz işlemlerden goruluyor...

Son denklem yanlis yazmişsiniz galiba...

$(x^2-2x+4)$  ve diğerleride ayni şekilde olacak.

Buradan her bir çarpan $( x^2-2x+4)=(x-1)^2+3\ge 3$ olur. Carpim 81 olduguna gore her biri 1,1,1,1 den başka sayi olamaz. Taraf tarafa çarpip Sadeleştirme yaparken sifirdan farkli olmali sartini eklemek gerekir

(648 puan) tarafından 

Sağolun hocam. Demek ki az daha zorlasam çözecekmişim soruyu bazen bir yere kadar getirip göremiyor insan :)

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,049,377 kullanıcı