Question

Bir limitin var oldugunu kabul ederek bir limit degeri bulursak gercekten de limiti var midir?

(Sorum genel için, ilgili cevap bir örnek)

Answer 1

Hayır, olmak zorunda değil.

$f(x)=\frac x{|x|}$ olsun. $\lim_{x\to0}f(x)=L$ olduğunu varsayalım.

$\lim_{x\to0}f(x)=L$ olan HER fonksiyon için $\lim_{x\to0}f(-x)=L$ olduğu 

(http://matkafasi.com/22880/displaystyle-displaystyle-displaystyle-displaystyle-saglayacak)

da gösterildi.

$f(x)+ f(-x)=0\ (\forall x\neq0\textrm{ için})$ dir. 

Öyleyse $\lim_{x\to0}\left(f(x)+f(-x)\right)=L+L=0$ olur.

 $L=0$ olmalıdır.

Ama $\lim_{x\to0^+}f(x)=1\neq-1=\lim_{x\to0^-}f(x) $ olduğu için 

$\lim_{x\to0}f(x)$ yoktur.

Comments

Önceki örnekte bazı zorluklar ve yazım hataları vardı. Bu daha basit bir örnek.

---

Doğan Hocam çok teşekkürler, demekki cebirsel çözümle bir çelişki elde edemediğimiz durumlar oluşuyorsa ya bu durumların yapısını veren bir açıklama olmalı ya da Sercan Hocam'ın da dediği gibi limitin varlığını başta kanıtlayıp, kabul edeceğimiz bir teorem olmalı. Aksi halde L'Hospital'le kontrol etmekten başka çaremiz yok görünüyor...

Answer 2

Verilen ifade sıfır bölü sıfır belirsizliği olduğundan limit değeri vardır...

Comments

Bu yanlış bir çıkarım değil mi,  $x/x^2$ mesela? Sorum genel olarak limit varlığını kabul etmemiz ve bulmamız...

---

Bu yazdığınız sıfır bölü sıfır değil 1/0...

---

Üstte sıfıra gidiyor, altta.. Hem diğerinde de paydaya bir $x$ daha katalım. Yine limiti olmaz.

---

Sercan Hocam x/x^2 fonksiyonu 1/x fonksiyonu demek değil midir? Çünkü fonksiyon x=0 için tanımlı değil...

---

Sadelestirme yapmak zorunda degiliz ki. Ornegimiz $\frac{\sin x}{x^2}$ olsun. Bu da $0/0$ cinsinden ama limiti yok.

---

Örnekler üzerinden konuştuğumuz için farklı durumlar oluşuyor, bu karmaşayı önlemek için L'Hospital kuralı tanımlanmış, aslında verdiğiniz ikinci örnekte 1/x fonksiyonu gibi davranıyor. İlk örnekte limitin varlığını kabul etmek yanlış bir yaklaşım değil çünkü 0/0 ile L'Hospital uygulama şansımız oluyor bunu yapmazda cebirsel işlemler üzerinden hareket edersek işlemler sonucunda bir çelişki mutlaka görülecektir diye düşünüyorum. 

---

Fakat son kısımdaki limit bakarsak limiti bulmuş oluruz. Bu da limit var ise limit vardır, olmuyor mu?

---

Tam neyi kastettiğinizi anlayamadım ama benim demek istediğim eğer limit yoksa L=L+1 gibi bir cebirsel sonuca ulaşırız...