Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi

İkinci Türevin sürekli olduğunu varsaymadan (sadece var olduğunu varsayıp) gösteriniz.

bir cevap ile ilgili: İkinci türev
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 1.4k kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

L'hospital kuralı uygulanırsa;

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F'(x+h)-F'(x-h)}{2h}$ olacaktır. 

Ve yeniden L'hospital uygulanırsa

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F''(x+h)+F''(x-h)}{2}=F''(x)$ olur.

(19.2k puan) tarafından 

Son eşitliği, süreklilik varsaymadan , nasıl açıklayabiliriz?

Limitinin var olması için neden sürekli olması gereksin ki?

O limitin var olduğunu nerden biliyoruz?

(Varsa bile) limitin değerini nasıl bulduk?

Taylor serisi kullanilarak yapilabiilir..

Ama 3. türevin varlığını varsaymadan.

Sorudan tam bağımsız değil fakat: L'hopital yönteminde hiç ön açıklamalar yapılmıyor. Aslında L'hopital uygulamak için de ön koşullar var. Şu an aklıma bu geldi, paylaşayım dedim.

Limitinin var olup olmadığını, limit alma yolu ile buluyoruz. Zaten ilk limit işlemin de $0/0$ belirsizliği yani L'hospital  kuralının ön şartı sağlanıyor.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

(Metok un cevabındaki gibi) L'hospital kuralı uygulanırsa (Sercan uyarmada haklı, burda sorun yok $\frac00$ belirsizliği var);

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F'(x+h)-F'(x-h)}{2h}$ limitini bulmak yeterlidir.

$\frac{F'(x+h)-F'(x-h)}{2h}=\frac{(F'(x+h)-F'(x))+(F'(x)-F'(x-h))}{2h}=\frac12\left(\frac{F'(x+h)-F'(x)}h+\frac{F'(x)-F'(x-h)}h\right)$

Parantez içindeki birinci terimin limiti (türev tanımından)  $F''(x)$ dir.

İkinci terimde  $k=-h$ değişken değişikliği yapıldığında

$\frac{F'(x)-F'(x-h)}h=\frac{F'(x+k)-F'(x)}k$ elde edilir ve ($k\rightarrow0$ için)

 limiti $F''(x)$ bulunur.

(6.2k puan) tarafından 
20,217 soru
21,750 cevap
73,349 yorum
1,976,836 kullanıcı