$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ her noktada türevli bir fonksiyon ve $f'(2)=5$ tir Buna göre, $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\textstyle\frac{f (2+3h)-f (2-5h)}{5h} $ değeri kaçtır?

Question

f:R->R her noktada turevli bir fonksiyon ve

f'(2)=5 tir

Buna göre,

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f (2-5h)}{5h} $ 

değeri kactir?

Bu konuya yeni başladım ayrıntılı cozer mısınız? 

Comments

L'hospital kuralını biliyorsanız,

$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(2+3h)-f(2-5h)}{5h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(f(2+3h)-f(2-5h))'}{(5h)'}= \\ =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f'(2+3h)-f'(2-5h)}{5}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{5-5}{5}=0$

---

Cevap 8 hocam.

---

Gözümden kaçmış.Türev alırken fonksiyon içindeki değişkenin türevini de almak gerekir.

$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(2+3h)-f(2-5h)}{5h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(f(2+3h)-f(2-5h))'}{(5h)'}= \\ =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3f'(2+3h)-(-5)f'(2-5h)}{5}=\frac{3.5+5.5}{5}=8$

---

Tesekkur ederim. 

Answer 1

funky2000'in ikinci yorumu çözümdür.

Comments

 Bu soru  çözülmüş ama çözümde soruda belirtilmeyen varsayımlar kullanılmış.  Soruda $f'(x)$  hakkında (sürekliliği gibi ) bir varsayım olmadan ${\lim_{h\to0}f'(2+3h)=f'(2)}$ ve ${\lim_{h\to0}f'(2-2h)=f'(2)}$ yazılmış, bunlar verilenlerden çıkarılamaz. Aslında çözümde $f$ nin 2 dışında türevlenmesine bile gerek yok. 

 Daha önce sorduğum bir sorudaki (http://matkafasi.com/20623/displaystyle-rightarrow-oldugunu-turevin-varligini-gosteriniz) teknik ile bu varsayıma gerek olmadan aynı sonuca ulaşılabilir. Bunun için, limit hesaplamada bazan kullanılan, ama çoğu zaman açıkça belirtilmeyen (biz, kitabımızda Limit için Değişken Değişikliği Teoremi adı verdik) bir teorem yeterli oluyor.   $\begin{eqnarray*}& &\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f (2-5h)}{5h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f (2+3h)-f(2))+(f(2)-f (2-5h))}{5h}\\ &=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f(2)}{5h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2)- f(2-5h)}{5h}\\&=&\frac35\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f(2)}{3h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2-5h)-f(2) }{-5h}\quad (s=3h,\ t=-5h)\\&=&\frac35\lim_{s\rightarrow0}\frac{f (2+s)-f(2)}{s}+\lim_{t\rightarrow0}\frac{f(2+t)-f(2) }{t}=\frac35f'(2)+f'(2)=8 \end{eqnarray*} $