Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

f:R->R her noktada turevli bir fonksiyon ve

f'(2)=5 tir

Buna göre,

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f (2-5h)}{5h} $ 

değeri kactir?

Bu konuya yeni başladım ayrıntılı cozer mısınız? 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (157 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

L'hospital kuralını biliyorsanız,

$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(2+3h)-f(2-5h)}{5h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(f(2+3h)-f(2-5h))'}{(5h)'}= \\ =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f'(2+3h)-f'(2-5h)}{5}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{5-5}{5}=0$

Cevap 8 hocam.

Gözümden kaçmış.Türev alırken fonksiyon içindeki değişkenin türevini de almak gerekir.

$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(2+3h)-f(2-5h)}{5h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(f(2+3h)-f(2-5h))'}{(5h)'}= \\ =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3f'(2+3h)-(-5)f'(2-5h)}{5}=\frac{3.5+5.5}{5}=8$

Tesekkur ederim. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

funky2000'in ikinci yorumu çözümdür.

(19k puan) tarafından 

 Bu soru  çözülmüş ama çözümde soruda belirtilmeyen varsayımlar kullanılmış.  Soruda $f'(x)$  hakkında (sürekliliği gibi ) bir varsayım olmadan ${\lim_{h\to0}f'(2+3h)=f'(2)}$ ve ${\lim_{h\to0}f'(2-2h)=f'(2)}$ yazılmış, bunlar verilenlerden çıkarılamaz. Aslında çözümde $f$ nin 2 dışında türevlenmesine bile gerek yok. 

 Daha önce sorduğum bir sorudaki (http://matkafasi.com/20623/displaystyle-rightarrow-oldugunu-turevin-varligini-gosteriniz) teknik ile bu varsayıma gerek olmadan aynı sonuca ulaşılabilir. Bunun için, limit hesaplamada bazan kullanılan, ama çoğu zaman açıkça belirtilmeyen (biz, kitabımızda Limit için Değişken Değişikliği Teoremi adı verdik) bir teorem yeterli oluyor.   $\begin{eqnarray*}& &\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f (2-5h)}{5h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f (2+3h)-f(2))+(f(2)-f (2-5h))}{5h}\\ &=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f(2)}{5h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2)- f(2-5h)}{5h}\\&=&\frac35\lim_{h\rightarrow0}\frac{f (2+3h)-f(2)}{3h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2-5h)-f(2) }{-5h}\quad (s=3h,\ t=-5h)\\&=&\frac35\lim_{s\rightarrow0}\frac{f (2+s)-f(2)}{s}+\lim_{t\rightarrow0}\frac{f(2+t)-f(2) }{t}=\frac35f'(2)+f'(2)=8 \end{eqnarray*} $ 

18,094 soru
20,669 cevap
66,455 yorum
18,773 kullanıcı