$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}=F''(x)$ olduğunu (2. türevin sadece varlığını kabul ederek) gösteriniz.

Question

İkinci Türevin sürekli olduğunu varsaymadan (sadece var olduğunu varsayıp) gösteriniz.

Answer 1

L'hospital kuralı uygulanırsa;

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F'(x+h)-F'(x-h)}{2h}$ olacaktır. 

Ve yeniden L'hospital uygulanırsa

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F''(x+h)+F''(x-h)}{2}=F''(x)$ olur.

Comments

Son eşitliği, süreklilik varsaymadan , nasıl açıklayabiliriz?

---

Limitinin var olması için neden sürekli olması gereksin ki?

---

O limitin var olduğunu nerden biliyoruz?

(Varsa bile) limitin değerini nasıl bulduk?

---

Taylor serisi kullanilarak yapilabiilir..

---

Ama 3. türevin varlığını varsaymadan.

---

Sorudan tam bağımsız değil fakat: L'hopital yönteminde hiç ön açıklamalar yapılmıyor. Aslında L'hopital uygulamak için de ön koşullar var. Şu an aklıma bu geldi, paylaşayım dedim.

---

Limitinin var olup olmadığını, limit alma yolu ile buluyoruz. Zaten ilk limit işlemin de $0/0$ belirsizliği yani L'hospital  kuralının ön şartı sağlanıyor.

Answer 2

(Metok un cevabındaki gibi) L'hospital kuralı uygulanırsa (Sercan uyarmada haklı, burda sorun yok $\frac00$ belirsizliği var);

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F'(x+h)-F'(x-h)}{2h}$ limitini bulmak yeterlidir.

$\frac{F'(x+h)-F'(x-h)}{2h}=\frac{(F'(x+h)-F'(x))+(F'(x)-F'(x-h))}{2h}=\frac12\left(\frac{F'(x+h)-F'(x)}h+\frac{F'(x)-F'(x-h)}h\right)$

Parantez içindeki birinci terimin limiti (türev tanımından)  $F''(x)$ dir.

İkinci terimde  $k=-h$ değişken değişikliği yapıldığında

$\frac{F'(x)-F'(x-h)}h=\frac{F'(x+k)-F'(x)}k$ elde edilir ve ($k\rightarrow0$ için)

 limiti $F''(x)$ bulunur.