Bu soru için limitin var olduğunu ispatlamaya gerek var mı?

Question

$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc} \dfrac{2x^2-x^2y^2+2y^2}{x^2+y^2} & , & (x,y)\neq (0,0) \\ \\ a & , & (x,y)=(0,0) \end{array}\right.$ fonksiyonunun orijinde sürekli olması için $a$ ne olmalıdır?

$x=r\cdot\cos\theta$ ve $y=r\cdot\sin\theta$

$\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to (0,0) } \dfrac{2x^2-x^2y^2+2y^2}{x^2+y^2}=\displaystyle\lim\limits_{r\to 0 } \dfrac{2r^2-r^4\sin^2\theta \cos^2\theta}{r^2}= \displaystyle\lim\limits_{r\to 0 } ({2-r^2\sin^2\theta \cos^2\theta)}=2$ dir. Eğer limit varsa bu $2$'dir. Burada $x$ ve $y$ değişkenini $r$ tek değişkenine düşürdüğümüz için epsilon-delta tanımından limitin var olduğunu göstermeye gerek olmadığını düşündüm ama $\theta$ da bir değişken olduğundan ispatlamaya da gerek var gibi.

Comments

Bu linkte yer alan soruyu incelemeni tavsiye ederim @Bilgeonb.

---

Teşekkür ederim hocam.

Answer 1

$\dfrac{2x^2-x^2y^2+2y^2}{x^2+y^2}=2-\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ dir.

(Negatif olmayan sayılarda) Geometrik Ortalama $\leq$ Aritmetik Ortalama olduğundan:

 $\sqrt{x^2y^2}=|xy|\leq\dfrac{x^2+y^2}2 $  olup ($\forall (x,y)\neq(0,0)$ için) $\dfrac{|xy|}{x^2+y^2}\leq\frac12$ elde edilir. Buradan da:

($\forall (x,y)\neq(0,0)$ için)   $0\leq\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{|xy||xy|}{x^2+y^2}\leq\dfrac{|xy|}2$ olur.

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|xy|}2=\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}0=0$ olduğundan, Sıkıştırma Teoreminden:

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0$ ve buradan da $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{2x^2-x^2y^2+2y^2}{x^2+y^2}=2$ elde edilir.