Limitin Epsilon-Delta Tanımı İle İlgili Bir Düşünce

Question

Merhaba kısaca ve anlaşılır bir şekilde anlatmaya çalışacağım.

eğer bir fonksiyonun x a'ya yaklaşırken limiti L ise

0'dan büyük her epsilon için en az bir delta buluyoruz ve rastgele seçilecek x'in a'ya uzaklığı 0'dan büyük deltadan küçükse f(x) lerin de L'ye olan uzaklığı epsilondan küçük oluyor sonuç olarak epsilonla delta arasında bağıntı bulup genelleme yapabilmek için

deltayı epsilonun bir fonksiyonu olarak yazıp limitimizin ispatını yapmış oluyoruz

ama ben mantıken şöyle bi açıdan da düşündüm her epsilon için en az bir delta varsa 

aynı zamanda her delta içinde en az bir epsilon olması gerekir

dolayısıyla deltayı epsilonun bir fonksiyonu olarak yazmak yerine

epsilonu deltanın bir fonksiyonu yazarak çözüm yapabilirmiyim diyerek düşünerek ispatlamaya çalıştım 

LateX bilmediğimden dolayı buraya işlemleri yazamadım şimdiden özür dilerim yaptığım işlemlerle ilgili bilgiler eklediğim fotoğrafta mevcuttur 

Sonuç olarak eğer benim düşünceme katılmıyorsanız yazdığım önermeyi çürüterek veya aksini ispat eden en az bir örnek vererek kanıtlar mısınız?

eğer aşağıdaki resim bulanık gözüküyorsa resim linkini bırakıyorum

https://i.hizliresim.com/rjmjlxz.png

 

 

 

 

Comments

ama ben mantıken şöyle bi açıdan da düşündüm her epsilon için en az bir delta varsa 

aynı zamanda her delta içinde en az bir epsilon olması gerekir

Bu boyle mi gercekten ? 

mesela her kedi icin bir burun var ise, her burun icin de bir kedi var midir?

---

Ona bakarsak Yabancı bir dil düşünelim her bir kelimenin en az bir anlamı olsun, bu durumda her bir anlam için o anlamı veren en az bir kelime bulunacaktır Siz birbirinden bağımsız olaylar arasında ilişki kurmaya çalışıyorsunuz birbirinden bağımsız olayların kesişim kümesi boş kümedir bu durum kendi içinde değerlendirilmesi gereken bir durum doğruluğu veya yanlışlığı limitin değerinin kanıtlanması veya kanıtlanmaması ile elde edilir eğer düşünceyi absurd buluyorsanız bunu matematiksel olarak ispat etmek zorundasınız.ben yaptığım işlemlerle delta üzerinden giderekte limitin doğruluğunun ispatını yaptım ama tabiki delta üzerinden gidince yapılan işlemlerin çok daha zorlaştığını farkettim (özellikle derecesi 2 ve daha yüksek olan bir değişkenli fonksiyonlarda) bu yüzden epsilon üzerinden genel bir tanım yapıldığını düşünerek böyle bir yazı paylaştım

---

Burada ele aldığınız örnek, problem çıkaracak türde değil. Belki de en güzel fonksiyonu seçmişsiniz. Bu tip tartışmaları sınamak için daha çok patolojik fonksiyonları kullanıyorlar, meydan okur gibi yani. 

Örneğin, $[0,1]$ aralığında tanımlı, rasyonellerde $1$, irrasyonellerde $0$ değeri alan fonksiyonu alın. $\delta>0$ keyfi olsun. Siz her $\delta$ değeri için bir $\varepsilon$ değeri bulabilirsiniz ve böylece bu fonksiyonun sürekli olduğu görülür. 

Quora ve MathStackExchange sayfalarında benzer (daha doğrusu aynı) soru sorulmuş. Birçok farklı fonksiyonla ve başka şekillerde cevaplamışlar.

Answer 1

@gcelik senin sorundan ben şunu anlıyorum. $A\subseteq \mathbb{R},$ $f:A\to\mathbb{R}$ ve $a\in A$ olsun.
$$(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)\ldots (1)$$ve
$$(\forall \delta>0)(\exists\epsilon>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)\ldots (2)$$ önermeleri birbirine denk midir? Yanıt hayır. Bu önermeler birbirine her zaman denk değildir. $(1)$ nolu önerme doğru ise $f$ fonksiyonuna $a$ noktasında sürekli diyoruz. $(2)$ nolu önerme doğru ise bu durumda benim bildiğim özel bir isim yok. Ama sen mesela $(2)$ nolu önerme doğru ise $f$ fonksiyonuna $a$ noktasında yürekli denir diye bir tanım yapabilirsin. Niceleyicilerin sırasına ve niceleyicilerin sağındaki değişkenleri göz önünde bulundurduğunda bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması ile yürekli olmasının farklı kavramlar olduğunu görmen zor olmasa gerek.