Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
973 kez görüntülendi
bu fonksiyonun x 0 a giderkenki limitini sıkıştırma teoremi ile ispatlaması kolay fakat epsilon delta kullanarak ispatlamaya çalıştığımda tıkandım acaba bunun ispatini epsilon deltayla nasıl yapabilirz

yapacağınız yardım için şimdiden teşekkürler
Lisans Matematik kategorisinde (13 puan) tarafından 
tarafından yeniden açıldı | 973 kez görüntülendi
Neler yaptığınızı paylaşır mısınız?
bilmiyorum yapamadım cebirsel fonksiyonlar için epsilon delta ispatı yapabiliyorum ama transandant fonksiyon için yapamadım

Bunu $\varepsilon-\delta$ ile gösterebilmek için, $\sin$ fonksiyonunu, 0 yakınında, cebirsel bir fonksiyon ile alttan ve üstten sınırlamak gerekir, oldukça yakın olan (örneğin $-|x|\leq \sin x\leq |x|$ işe yaramaz) ve  iyi bilinen (DÜZELTME) böyle bir eşitsizlik ben bilmiyorum. 

Sıkıştırma Teoremi ile yapılan ispatta, ilk adımda gösterilen eşitsizlik işimizi görür. Cevap olarak yazdım.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Şöyle yapabiliriz:

Sıkıştırma Teoremi kullanarak yapılan ispatındaki gibi, önce

$x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2),\ x\neq0$ için $\cos x<\frac{\sin x}x<1$ olduğu gösterilir.

$\forall x$ için $\cos x\geq1-x^2$ oluşundan

$x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2),\ x\neq0$ için $0<1-\frac{\sin x}x<x^2$ olur.

Şimdi ispatı $\varepsilon-\delta$ ile yapalım.

Bir $\varepsilon >0$ sayısı verilsin, $\delta=\min\{\sqrt{\varepsilon},\frac\pi2\}$ alınırsa

(yukardaki eşitsizlikleri birleştirerek)

$0<|x|<\delta$ olduğunda $\left|\frac{\sin x}x-1\right|\stackrel{*}{<}x^2=|x|^2<\delta^2\leq\varepsilon$ olur.

($*: x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2),\ x\neq0$ olduğu için)
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,053,525 kullanıcı