Şöyle yapabiliriz:
Sıkıştırma Teoremi kullanarak yapılan ispatındaki gibi, önce
$x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2),\ x\neq0$ için $\cos x<\frac{\sin x}x<1$ olduğu gösterilir.
$\forall x$ için $\cos x\geq1-x^2$ oluşundan
$x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2),\ x\neq0$ için $0<1-\frac{\sin x}x<x^2$ olur.
Şimdi ispatı $\varepsilon-\delta$ ile yapalım.
Bir $\varepsilon >0$ sayısı verilsin, $\delta=\min\{\sqrt{\varepsilon},\frac\pi2\}$ alınırsa
(yukardaki eşitsizlikleri birleştirerek)
$0<|x|<\delta$ olduğunda $\left|\frac{\sin x}x-1\right|\stackrel{*}{<}x^2=|x|^2<\delta^2\leq\varepsilon$ olur.
($*: x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2),\ x\neq0$ olduğu için)