Şöyle yapabiliriz:
Sıkıştırma Teoremi kullanarak yapılan ispatındaki gibi, önce
x∈(−π2,π2), x≠0 için cosx<sinxx<1 olduğu gösterilir.
∀x için cosx≥1−x2 oluşundan
x∈(−π2,π2), x≠0 için 0<1−sinxx<x2 olur.
Şimdi ispatı ε−δ ile yapalım.
Bir ε>0 sayısı verilsin, δ=min{√ε,π2} alınırsa
(yukardaki eşitsizlikleri birleştirerek)
0<|x|<δ olduğunda |sinxx−1|∗<x2=|x|2<δ2≤ε olur.
(∗:x∈(−π2,π2), x≠0 olduğu için)