Question

$\lim_{x \to \infty} \sin x$ limiti hakkında ne söylersiniz?

Answer 1

Önce şunu (her fonksiyon ve her $a\in\mathbb{R}$ için) gösterebiliriz  ($L$ sonlu veya sonsuz farketmez):

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}f(x+a)=L \textrm{ olur.}$$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin x=L$ ($L$ sonlu veya sonsuz) varsayıp, bunu  $a=\pi$ alarak kullanalım.

$$\lim_{x\to+\infty}\sin x=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}\sin(x+\pi)=L \textrm{ olur.}$$

Ama $\sin(x+\pi)=-\sin x$ olduğundan (ve limitin özelliklerinden) 

$L=-L$ elde edilir. Bu da $L=0$ olması demektir. ($L=+\infty$ veya $L=-\infty$ iken bu eşitliğin imkansız olduğunu göstermek gerekir veya aşağıdaki argümanı kullanabiliriz)

Şimdi de $a=\frac\pi2$ alıp aynı sonucu kullanalım:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin (x+\textstyle\frac\pi2)=0$ olacaktır. Bu da, $\sin(x+\frac\pi2)=\cos x$ oluşunu kullanarak $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\cos x=0$ sonucunu verir.

$$1=\lim_{x\to+\infty}(\sin^2 x+\cos^2 x)=\lim_{x\to+\infty}\sin^2 x+\lim_{x\to+\infty}\cos^2 x=0^2+0^2=0$$

elde ettik. Çelişki

Comments

Çok güzel bir yorum. Zihninize sağlık

---

Ufak bir ekleme yapim izninizle. sin x in alt ve üstsınırından dolayı limiti sonsuz olamaz. Yani $L=\pm\infty$ durumları zaten olamaz. 

---

Limitle ilgili teoremler  dışında hiç bir şey kullanmadan çözmek istedim.

---

Zaten bu da limit ile ilgili bir teoremdir. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktanın bir (delik) komşuluğundaki alt sınırından küçük üst sınırından büyük olamaz. 

---

Elbette ki haklısınız.

Answer 2

Çözümde kullandığım önerme, tamamen geometrik olarak, şöyle ispatlanabilir (elbette analitik olarak da gösterilebilir)

Sonsuzda limit tanımından görülebileceği gibi ($L$ sonlu iken):

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ olması $y=f(x)$ eğrisinin $y=L$ (yatay) doğrusuna ( sağa giderken) asimptotik olmasına eşdeğerdir.

$y=f(x+a)$ eğrisi ise $y=f(x)$ eğrisinin, $\vert a\vert$ kadar sağa veya sola (yatay olarak) kaydırılmış şeklidir. Bu nedenle ( sağa giderken) (yatay bir doğruya) asimptotik olma özelliği değişmeyecektir.

$L=+\infty$ veya $L=-\infty$ durumu da benzer  şekilde (asimptot olmak yerine yatay doğruların üstünde veya altında kalmayı düşünerek) gösterilebilir.

Comments

Peki sorunun cevabı ne acaba?

---

$\lim_{x\to+\infty}\sin x=L$  olduğu varsayımı bir çelişkiye yol açıyor. Öyleyse limitin var olmadığını göstermiş olduk.