Sonsuz bir seri hesaplama

Question

$$\sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(1+nm)^2}=?$$

Not: $$\forall m, n \in {\mathbb Z}_{>0}, \quad \frac{1}{(1+nm)^2}< \frac{1}{(nm)^2}\implies \sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(1+nm)^2}< \sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(nm)^2}=\zeta(2)^2$$

Comments

Bu toplam, bir transfer operatörünün bir sıfır noktasındaki değeridir. Toplamın ne olduğu hakkında bir bilgim yok. Sadece Riemann zeta değerinin bir benzeri olduğunu söyleyebilirim.

Answer 1

ilk olarak $$\sum\limits_{m,n\geq 1}\frac{1}{(1+mn)^2} = \sum_{k\geq 1}\frac{b(k)}{(k+1)^2}=\frac{1}{4}+\sum\limits_{k\geq 2}b(k)\bigg(\frac{1}{k^2}-\frac{2}{k^3}+\frac{3}{k^4}-\cdots\bigg)$$burda $b(k)$ dedigimiz $k$ sayisinin bolenlerinin sayisi. Ayrica$$ \sum_{k \geq 2}\frac{b(k)}{k^r} = -1+\sum_{k\geq 1}\frac{(1*1)(k)}{k^r} = -1+\zeta(r)^2 $$ oldugundan toplamimiz da $$\sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{(1+mn)^2}=\frac{1}{4}+\sum_{r\geq 2}(-1)^r(r-1)\left(\zeta(r)^2-1\right)$$ olur.

Comments

Bu toplamı Maple'da mı hesapladınız Sercan Bey?

---

Maple bu toplami bu sekilde hesaplayabiliyorsa ogreneyim hemen.

---

Maple'da hesapladım ve yukarıdaki sonucu (sizin bulduğunuz sonucu) buldum diyenler var. Merakım ondandır!

---

Yok, kullanmadim.

---

Test edildi..

---

Daha iyisi..

---

Matematica mı bu?

---

............evet......