Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
8 beğenilme 0 beğenilmeme
5.9k kez görüntülendi


$$\sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(1+nm)^2}=?$$

Not: $$\forall m, n \in {\mathbb Z}_{>0}, \quad \frac{1}{(1+nm)^2}< \frac{1}{(nm)^2}\implies \sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(1+nm)^2}< \sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(nm)^2}=\zeta(2)^2$$


Akademik Matematik kategorisinde (209 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 5.9k kez görüntülendi

Bu toplam, bir transfer operatörünün bir sıfır noktasındaki değeridir. Toplamın ne olduğu hakkında bir bilgim yok. Sadece Riemann zeta değerinin bir benzeri olduğunu söyleyebilirim.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

ilk olarak $$\sum\limits_{m,n\geq 1}\frac{1}{(1+mn)^2} = \sum_{k\geq 1}\frac{b(k)}{(k+1)^2}=\frac{1}{4}+\sum\limits_{k\geq 2}b(k)\bigg(\frac{1}{k^2}-\frac{2}{k^3}+\frac{3}{k^4}-\cdots\bigg)$$burda $b(k)$ dedigimiz $k$ sayisinin bolenlerinin sayisi. Ayrica$$ \sum_{k \geq 2}\frac{b(k)}{k^r} = -1+\sum_{k\geq 1}\frac{(1*1)(k)}{k^r} = -1+\zeta(r)^2 $$ oldugundan toplamimiz da $$\sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{(1+mn)^2}=\frac{1}{4}+\sum_{r\geq 2}(-1)^r(r-1)\left(\zeta(r)^2-1\right)$$ olur.

(25.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Bu toplamı Maple'da mı hesapladınız Sercan Bey?

Maple bu toplami bu sekilde hesaplayabiliyorsa ogreneyim hemen.

Maple'da hesapladım ve yukarıdaki sonucu (sizin bulduğunuz sonucu) buldum diyenler var. Merakım ondandır!

Yok, kullanmadim.

image

Test edildi..

image

Daha iyisi..

Matematica mı bu?

............evet......

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
1,998,466 kullanıcı