Rasyonel Bir Seri

Question

$\sum \limits_{n=1}^\infty\frac{1}{10^{n!}}$ toplamı Rasyonel midir ? , İrrasyonel midir? 

Comments

sanırım yanlış bir komut girmişim , $10$ üzeri $-n!$

---

http://matkafasi.com/4340/%24-sum-limits_-n-1-infty-10-n-n-1-2-%24-askindir-transcendental

---

O zaman $IxI<1$  olacak biçimde bir rasyonel sayı alındığında  ;  

          

    { $x$^{$genel \ terimi  \ rasyonel \ olan \ bir \ dizi $}} üzerinden bir sonsuz toplam yapılırsa , bu tarz      her seri transendental olur , genel bir teorisi var o zaman bu sayıların 

---

116 dakikada Latex rehberini indirdim , bir $10$ üzeri $-n!$ ifadesini düzeltemedim  vayy arkadaşş:-))

hızlı bir şekilde kullanabilceğim bir kılavuz var mı ? 

---

\frac{1}{10^{-n!}}                

---

vay arkadaş } eksik kalmış , sırf bu olayı kolaylaştıran bir klavye icat etmek şart :-))

---

''F'' yada ''Q'' klavye değil Latex {LTX} klavye marka amblemide güzel oldu :-)))

---

Onu LaTex programlari otamatik koyuyor, parantez acinca yanina kapatiyor, bazen iyi oluyor bazen kotu. Yanlis yazinca silmesi dert onun da. Hele el cift basmaya alistiysa: () {} [] gibi, program da gereksiz gibi geliyor, uzuluyor insan, arada kaliyor, aliskanlik devam etsin mi, yoksa basidini mi kullanayim, adamlar bosuna mi koymus bu guzelligi... Cok cilekes bu isler..

---

evet acı çekmeden , olmuyor  hatasız kul olmaz diye boşa dememiş Orhan baba :-))

---

Bu sorulan Joseph Liuvilli'nin bulduğu ve transandantal(aşkın sayı) olduna ilişkin bir formüldür.

Answer 1

Soru, bu haliyle, kolaydır: Verilen sayı irrasyoneldir. Çünkü,  rasyonel olması için ondalık açılımı periyodik olmalıdır. Oysa, periyodik değil (periyodik olduğu ve en küçük pozitif periyodunun, örneğin, m olduğu varsayılırsa, ondalık açılımı içinde sayısı m’den büyük olan ve yalnız sıfırlardan oluşan “bloklar” bulunur ve böylece, çelişki elde edilir).

 Soru, şu haliyle zor olsa gerek: verilen sayı  transandantal mıdır?

Answer 2

Bu sayı transandantal. Ve bu çok esrarengiz bir netice değil. Biraz uğraşan herkes elle ispatlayabilir (ben üşensem de). Buradaki fikir, sıfırların arası gittikçe uzadığı için, bir polinomun içine koyduğumda bunları denk getirip sıfırlayamam. Bunda zorlanırsak $\sum 10^{-n!!}$ gibi bir seriyi ele alarak sıfırları daha da seyreltebiliriz.