Not: Çözüm geomania.org sitesinden Atakan Çiçek kullanıcısına aittir.
Varsayalım ki bu denklemin $\{(x_0,y_0,z_0)\}$ için pozitif tam sayı bir çözümü olsun. $(x_0,y_0)=d$ olsun. O halde $d^2\mid z_0$ olacağından dolayı $\{(\frac{x_0}{d},\frac{y_0}{d},\frac{z_0}{d^2})\}$ de bir çözüm olmalıdır. Bu çözümdeki değişkenleri sırasıyla $a$, $b$ , $c$ olarak alırsak
$S=\{c\in Z^+ : a^4+b^4=c^2$ ve $(a,b)=1$ olacak şekilde bir $a,b\in Z^+$ vardır $\}$
şeklinde soruyu düşünebiliriz.
Yukarıdaki $S$ varsayımından dolayı $S\not = \oslash$ olması gerektiğinden dolayı iyi sıralanma ilkesi gereğince $S$ nin en küçük elemanı olmalıdır. $(a^2,b^2,c)=1$ $(a^2)^2+(b^2)^2=c^2$ şeklinde düşünürsek $(s,t)=1$ ve $s\not \equiv t(mod2)$ için
$$a^2=2st \text{ , } b^2=s^2-t^2 \text{ , } c^2=s^2+t^2$$
olduğunu gösterelim.
$ispat:$
$Lemma:$ İspata girerken öncelikle $a$ çift olduğu için $b$ ve $c$ nin tek olduğunu gösterelim.
$a^2+b^2=c^2$ denkleminde $a $ ile $b$ ifadelerinin ikisinin de tek olması $c^2 \equiv 2(mod4)$ olmasına neden olur.
her ikisinin de çift olması durumu ise $(a,b,c)=1$ kabulünden dolayı çelişir
burada bizim çift olan terimimiz $a$ olduğu için $c+b$ ile $c-b$ de çift olmalıdır.
$a=2r$, $b+c=2u$ , $b-c=2v$ olacak şekilde $ r,u,v\ge 1$ tam sayıları vardır.
$a^2=b^2-c^2$ olduğundan dolayı $4r^2=2u.2v$ yani $r^2=uv$ elde edilir.
Şimdi $(u,v)=1$ olduğunu hızlıca gösterelim. $d=(u,v)$ olsun. $c-b=2u$ ve $c+b=2v$ olduğundan dolayı $c=u+v$ ve $b=u-v$ olmalıdır. $d\mid c $ ve $d\mid b$ olmalıdır. fakat $(b,c)=1$ olduğu için $(u,v)=1$ olmalıdır.
$(u,v)=1$ olduğundan dolayı $u$ ile $v$ ayrı ayrı birer tam kare olmalıdır.
$u=s^2$ , $v=t^2$ , $s,t\ge 1$ tam sayıları bulunur. İfadeleri düzenlersek
$$a^2=2st \text{ , } b^2=s^2-t^2 \text{ , } c^2=s^2+t^2$$
olduğu ispatlanmış olur.
$2.$ eşitlikten $b^2+t^2=s^2$ bulunur. $(s,t)=1$ olduğundan dolayı $(b,s,t)=1$ olmalıdır. Pisagor üçlülerini $Lemma$ mızdan dolayı $b$ tek olduğu için $t$ çift $s$ tek olmalıdır.
$a^2=2st$ olduğundan dolayı $(\frac{a}{2})^2=s.\frac{t}{2}$ olur. $s=u^2$ ve $t=2v^2$ , $u,v\ge 1$ tam sayıları vardır.
$b^2+(2v^2)^2=(u^2)^2$ bulunur. $(s,t)=1$ olduğundan $(u,v)=1$ olacağı da açıktır. $s$ tek olduğundan $u$ tektir.
İspatını verdiğimiz ifadeyi tekrar kullanacak olursak
$$2v^2=2ef \text{ , } b^2=e^2-f^2 \text{ , } u^2=e^2+f^2$$
ve $(e,f)=1$ olacak şekilde $e,f\ge 1$ tam sayıları vardır. $v^2=ef$olduğu için $e=q^2$ , $f=r^2$ elde edilir.
O halde $u^2=q^4+r^4$elde edilir. $(e,f)=1$ olduğu için $(q,r)=1$ de olmalıdır. Fakat $u\le s\le a^2<c$ olduğundan dolayı yani $c>u$ olduğundan dolayı iyi sıralanma ilkesi ile yani $c$ nin en küçük olmasıyla çelişir. O halde denklemin pozitif tam sayılarda çözümü yoktur.
Çözüm tam sayılarda olsa idi $x.y.z=0$ ifadesi sağlanmalıydı çünkü $x^4+y^4=z^2$ için çözümümüzü $Z-\{0\}$ kümesine genelleyebilirdik o halde $x,y$ den biri çift olmalıdır ve o sayı da $0$ 'a eşit olmalıdır. Bu nedenle $x.y=0$ elde edilebilirdi.
Çözüm: Atakan Çiçek