Processing math: 23%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
214 kez görüntülendi
Metin Can Aydemir'in bir sorusu :

a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere 1a+1b=k2024 denkleminin (a,b) için çözümü olmamasını sağlayan en küçük k pozitif tamsayısı nedir?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.4k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 214 kez görüntülendi

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözümde burada kanıtlanan teoremden faydalanalım. Buna göre çözümler (d1,d2)=1, d1|2024, d2|2024 ve k|(d1+d2) olmak üzere a=2024kd1+d2d1 ve b=2024kd1+d2d2  formunda olmalı.

k|(d1+d2) olması gerektiğinden 2024 sayısının aralarında asal olan (d1,d2) pozitif bölenleri:

(1,2),(1,4),(1,8),(1,11),(1,22),(1,23),(1,44),(1,46),(1,88),(1,92),(1,184),(1,253),(1,506),(1,1012),(1,2024),(2,11),(2,23),(2,253),(4,11),(4,23),(4,253),(8,11),(8,23),(8,253),(11,23),(11,46),(11,92),(11,184),(22,23),(23,44),(23,88)

ve bunların  toplamı

(1,2)→3,(1,22)→23,(1,88)→89,(1,506)→507,(2,11)→13,(4,11)→15,(8,11)→19,(11,23)→34,(11,184)→195,​(1,4)→5,(1,23)→24,(1,92)→93,(1,1012)→1013,(2,23)→25,(4,23)→27,(8,23)→31,(11,46)→57,(22,23)→45,​(1,8)→9,(1,44)→45,(1,184)→185,(1,2024)→2025,(2,253)→255,(4,253)→257,(8,253)→261,(11,92)→103,(23,44)→67,​(1,11)→12,(1,46)→47,(1,253)→254,(23,88)→111​


olduğundan k=3,4,5,6 değerlerini alabileceği görülür. Ancak hiçbir toplam 7 nin katı olmadığından k=7 olamaz.

(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Çözüm Metin Aydemir'e aittir.

 

k üzerinden çözmeye çalışalım. Eşitlikte her tarafı 2024ab ile çarparsak, 2024a+2024b=kab elde edilir. Her tarafı önce k ile çarpıp, sonra da her tarafa 2024^2 eklenirse (ka-2024)(kb-2024)=2024^2=2^6\cdot 11^2\cdot 23^2 bulunur. Eğer k\mid 4048 olursa, ka-2024=kb-2024=2024, yani a=b=\frac{4048}{k} seçilerek verilen eşitliğe bir çözüm bulunabilir. Dolayısıyla k=1,2,4 için çözüm vardır.

k=3 için ka-2024=4 ve kb-2024=1012^2 seçersek, a=676 ve b=\frac{1012^2+2\cdot 1012}{3}=\frac{1012\cdot 1014}{3}=1012\cdot 338 bir çözümdür.

k=6 için k=3 durumundaki çözümlerin yarısını seçebiliriz. Yani a=\frac{676}{2}=338 ve b=\frac{1012\cdot 338}{2}=506\cdot 338 seçebiliriz.

k=5 için ka-2024=1 ve kb-2024=2024^2 seçersek, a=\frac{2025}{5}=405 ve b=\frac{2024+2024^2}{5}=\frac{2024\cdot 2025}{5}=405\cdot 2024 seçebiliriz.

k\leq 6 için denklemin çözümü vardır. k=7 için çözüm olmadığını gösterelim. Aksini varsayalım. (7a-2024)(7b-2024)=2^6\cdot 11^2\cdot 23^2 olacaktır. 7a-2024\equiv 6\pmod{7} olduğundan 2^6\cdot 11^2\cdot 23^2'nin 7k+6 formatında bir böleni olmalıdır. d\mid 2^6\cdot 11^2\cdot 23^2 ise 11\equiv 2^2\pmod{7}\text{  ve  }23\equiv 2\pmod{7} olduğundan, d'nin 7'ye bölümünden kalan, 2'nin bir kuvvetine denk olmalıdır. Ancak 2^n\equiv 1,2,4\pmod{7} olduğundan asla 6 kalanı vermeyecektir. Demek ki böyle bir d yoktur. Dolayısıyla, çözüm de yoktur.
(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Korsan çözüm:
Fibonacci algoritmasından 7/2024=7/2030 +(7/2024-7/2030) 7/2024 =1/290+3/145 olduğundan (3/145 birim kesir değil) en küçük k=7 olmalı. k\lt 7 için algoritma  2 uzunluğunda (iki adet) birim kesirler veriyor.
(3.4k puan) tarafından 
20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,863,483 kullanıcı