Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
119 kez görüntülendi

xi pozitif tam sayı olmak üzere 1x1+...+1xk  şeklindeki birim kesirlerin toplamı "Mısır kesirleri" olarak adlandırılır.  Bu temsilde birim kesirler birbirinden farklı ise toplam "proper Mısır kesri", değilse "improper Mısır kesri"olarak adlandırılır. Her rasyonel sayının en az bir (hatta sonsuz) proper Mısır kesir temsili mevcuttur.

Eğer bir q rasyonel sayısı sabit bir k1 tam sayısı için  q=1x1+...+1xk şeklinde yazılıyorsa bu rasyonel sayıya "k- kısıtlanmış Mısır kesri" denir. Bu kümedeki q rasyonel sayısı k tane birim kesrin toplamı olarak yazılır ya da k uzunluktadır denir.

(0,1] aralığındaki k- kısıtlanmış Mısır kesirlerin kümesi  Mk={q(0,1]Q:q=1x1+...+1xk,1ik,xi1,tam sayı} ile gösterilir. Örneğin 57=12+15+170=12+16+121=12+17+114  olduğundan 57M3'tür fakat  57M2 dir. Benzer olarak 37=13+111+1232 olduğundan 37M3'tür fakat  37M2 dir. Yani yeterince büyük bir k sayısı için (0,1] aralığındaki her rasyonel sayının k-kısıtlanmış bir Mısır kesir temsili yoktur ve bu da ayrı bir teoremdir.

Mk kümesinin elemanlarının hangi rasyonel sayılardan oluştuğunu bulmak zor bir sorudur, hatta bu kümeyi k=3 için bile anlamak zordur. Örneğin "Erdös-Strauss Sanısı" olarak bilinen 4n=1x+1y+1z denkleminin pozitif tam sayılarda her n2 için çözümü olduğu iddiası hala açıktır. Bu sanı doğru ise {4n:n4}M3 olmalıdır.

 k=2 durumunda 2-kısıtlanmış Mısır kesirleri kümesi M2={q(0,1]Q:q=1x1+1x2} için, bu kümenin elemanlarını anlamamızı/tespit etmemizi sağlayan şöyle bir teorem vardır:

Teorem1mn, (m,n)=1 olacak şekilde  q=mn kesri verilsin. M2={q(0,1]Q:q=1x1+1x2} olmak üzere qM2 olması için gerek ve yeter şart d1|n,d2|n,(d1,d2)=1,m|(d1+d2) şartlarını sağlayan d1 ve d2 pozitif tam sayılarının bulunmasıdır. Bu durumda x1=n(d1+d2)md1,x2=n(d1+d2)md2 şeklindedir. Gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (3.4k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 119 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
x1=x  ve x2=y= ile gösterelim ve (x,y) denklemin bir çözümü olsun.
 
1x+1y=mn  denkleminden y=nm+n2m2xmn  ve (myn)(mxn)=n2  veya f1=myn  ve f2=mxn denirse f1>0 ve  f2>0 olmak üzere f1f2=n2  yazılabilir.

x=f2+nm  ve y=f1+nm değerleri denklemde yerine yazılır ve düzenlenirse 1n/m(f2/n+1)+1n/m(f1/n+1)=mn eşitliği elde edilir.

(d1,d2)=1 olmak üzere f1n=d2d1 denirse  f2n=d1d2 olur. Dolayısıyla d1|n  ve  d2|n olmalıdır. Bu değerler yukardaki denklemde yerine yazılırsa mn=1(n/md1)(d1+d2)+1(n/md2)(d1+d2) bulunur. (m,n)=1 ve paydalar tam sayı olacağından  m|(d1+d2) olmalıdır. Yukardaki denklemden çözümlerin x=n(d1+d2)md1,y=n(d1+d2)md2 şeklinde olması gerektiği anlaşılır.

Kanıtta kullanılan makale: https://nntdm.net/papers/nntdm-19/NNTDM-19-2-15-25.pdf
(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,816 kullanıcı