$\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac mn$ diophantine denklemi

Question

$x_i$ pozitif tam sayı olmak üzere $\dfrac{1}{x_1}+...+\dfrac{1}{x_k}$  şeklindeki birim kesirlerin toplamı "Mısır kesirleri" olarak adlandırılır.  Bu temsilde birim kesirler birbirinden farklı ise toplam "proper Mısır kesri", değilse "improper Mısır kesri"olarak adlandırılır. Her rasyonel sayının en az bir (hatta sonsuz) proper Mısır kesir temsili mevcuttur.

Eğer bir $q$ rasyonel sayısı sabit bir $k\ge 1$ tam sayısı için  $$q=\dfrac{1}{x_1}+...+\dfrac{1}{x_k}$$ şeklinde yazılıyorsa bu rasyonel sayıya "k- kısıtlanmış Mısır kesri" denir. Bu kümedeki $q$ rasyonel sayısı $k$ tane birim kesrin toplamı olarak yazılır ya da $k$ uzunluktadır denir.

$(0,1]$ aralığındaki k- kısıtlanmış Mısır kesirlerin kümesi  $$M_k=\{q\in (0,1]\cap\mathbb Q:q=\dfrac{1}{x_1}+...+\dfrac{1}{x_k}, 1\le i \le k ,x_i\ge 1    ,\text{tam sayı}\}$$ ile gösterilir. Örneğin $\dfrac{5}{7}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{70}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{21}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{14}$  olduğundan $\dfrac{5}{7}\in M_3$'tür fakat  $\dfrac{5}{7}\notin M_2$ dir. Benzer olarak $\dfrac{3}{7}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{232}$ olduğundan $\dfrac{3}{7}\in M_3$'tür fakat  $\dfrac{3}{7}\notin M_2$ dir. Yani yeterince büyük bir $k$ sayısı için $(0,1]$ aralığındaki her rasyonel sayının k-kısıtlanmış bir Mısır kesir temsili yoktur ve bu da ayrı bir teoremdir.

$M_k$ kümesinin elemanlarının hangi rasyonel sayılardan oluştuğunu bulmak zor bir sorudur, hatta bu kümeyi $k=3$ için bile anlamak zordur. Örneğin "Erdös-Strauss Sanısı" olarak bilinen $$\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$ denkleminin pozitif tam sayılarda her $n\ge 2$ için çözümü olduğu iddiası hala açıktır. Bu sanı doğru ise $\{\dfrac{4}{n}:n\ge 4\}\subseteq M_3$ olmalıdır.

 $k=2$ durumunda 2-kısıtlanmış Mısır kesirleri kümesi $$M_2=\{q\in (0,1]\cap\mathbb Q:q=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\}$$ için, bu kümenin elemanlarını anlamamızı/tespit etmemizi sağlayan şöyle bir teorem vardır:

Teorem. $1\le m\le n$, $(m,n)=1$ olacak şekilde  $q=\dfrac{m}{n}$ kesri verilsin. $M_2=\{q\in (0,1]\cap\mathbb Q:q=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\}$ olmak üzere $q\in M_2$ olması için gerek ve yeter şart $d_1|n,  d_2|n,   (d_1,d_2)=1, m|(d_1+d_2)$ şartlarını sağlayan $d_1$ ve $d_2$ pozitif tam sayılarının bulunmasıdır. Bu durumda $$x_1=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_1},   x_2=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_2}$$ şeklindedir. Gösteriniz.

Answer 1

$x_1=x$  ve $x_2=y=$ ile gösterelim ve $(x,y)$ denklemin bir çözümü olsun.
 
$\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac mn$  denkleminden $y=\dfrac nm+\dfrac {n^2}{m^2x-mn}$  ve $$(my-n)(mx-n)=n^2$$  veya $f_1=my-n$  ve $f_2=mx-n$ denirse $f_1\gt 0$ ve  $f_2\gt 0$ olmak üzere $$f_1f_2=n^2$$  yazılabilir.

$x=\dfrac{f_2+n}{m}$  ve $y=\dfrac{f_1+n}{m}$ değerleri denklemde yerine yazılır ve düzenlenirse $$\dfrac 1{n/m(f_2/n+1)}+\dfrac 1{n/m(f_1/n+1)}=\dfrac mn$$ eşitliği elde edilir.

$(d_1,d_2)=1$ olmak üzere $\dfrac {f_1}n=\dfrac {d_2}{d_1}$ denirse  $\dfrac {f_2}n=\dfrac {d_1}{d_2}$ olur. Dolayısıyla $d_1|n$  ve  $d_2|n$ olmalıdır. Bu değerler yukardaki denklemde yerine yazılırsa $$\dfrac mn=\dfrac 1{(n/md_1)(d_1+d_2)}+\dfrac 1{(n/md_2)(d_1+d_2)}$$ bulunur. $(m,n)=1$ ve paydalar tam sayı olacağından  $m|(d_1+d_2)$ olmalıdır. Yukardaki denklemden çözümlerin $$x=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_1},   y=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_2}$$ şeklinde olması gerektiği anlaşılır.