Question

$a,b$ pozitif tam sayilar olsun. $\sqrt{ab}$ ve $\sqrt{a^2+b^2}$ ayni anda tam sayi olabilir mi?

Ornegin: $a=b=1$ icin $\sqrt{ab}=1$ ta msayi ama $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt2$ degil.

Comments

$ab=x^2$ denk olduğunda $a^2+b^2=y^2$ denk olmuyor.

bu yüzden olmaz.biraz zayıf görünüyo yazdığım benden bu kadar :]

Answer 1

$(a,b)=d$ olsun. $a'=a/d$ ve $b'=b/d$ olarak tanimlayalim. Bu durumda $$\sqrt{ab}=d\sqrt{a'b'} \text{ ve } \sqrt{a^2+b^2}=d\sqrt{{a'}^2+{b'}^2}$$ olur.

Yani $d=1$ secebiliriz. Secmesek de sorumuz artik $\sqrt{a'b'}$ ve $\sqrt{{a'}^2+{b'}^2}$  ile ilgilenecegiz.

$\sqrt{a'b'}$ sayisinin bir tam sayi olmasi icin $a'=n^2$ ve $b'=m^2$ olacak sekilde aralarinda asal $n,m$ sayilari olmali.

Bu durumda aralarinda asal $n^4+m^4$ bir adet tam sayinin karesi olmali. Yani bir adet $s$ tam sayisi icin $n^4+m^4=s^2$ olmali.

Fermat'in son teoreminden dolayi (biraz daha is yaparak) bu sistemin pozitif tam sayi uclusu cozumu olamayacagini soyleyebiliriz. 

Demek ki bu sekilde $a,b$ pozitif tam sayilari bulamayiz.

Answer 2

$\sqrt{ab}$ tam sayı ise içerideki ifade bir tam kare olmalıdır.$a=b$ olmak zorundadır.Bu ifadeyi ikinci de yazarsak.$\sqrt{2.(a^2)}$ olur ki bunun da tam sayı olma ihtimali yoktur.

Comments

Ilk cumle dogru ama ikincisi degil. Ornek bulmak da zor degil (ipucu: $ab = 16$ olabilir)

---

Ozgur hakli. $a=9$ ve $b=4$ de olabilir. $a=36$ ve $b=4$ de.

---

Hayır hocam kast ettiğim o formda yazılabilecekler idi.$a=36$ ve $b=4$ içi sayılar yine $12.12$ şeklinde yazılabilir demek istemiştim.

---

1. Ama oyle yazmamissin :)

2. Bunu yaptiginda $a^2 + b^2$ toplamini degistiriyorsun. OK. $\sqrt{12 ^ 2+ 12^2}$ tam sayi degil. Ama $\sqrt{36^2 + 4^2}$ ifadesinin de tam sayi olmadigini soylemen lazim, $\sqrt{72^2 + 2^2}$ ifadesinin de tam kare olmadigini soylemen lazim vs vs. Derdim anlasilmistir umarim.

---

Son durum nedir? Ben de ispatin bu halinin yanlis oldugu kanisindayim.

---

Doğru hocam a ve b kareleri aynı şekilde yazsak bile değişiyor ispatim yanlış.