Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

a,b pozitif tam sayilar olsun. ab ve a2+b2 ayni anda tam sayi olabilir mi?

Ornegin: a=b=1 icin ab=1 ta msayi ama a2+b2=2 degil.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

ab=x2 denk olduğunda a2+b2=y2 denk olmuyor.

bu yüzden olmaz.biraz zayıf görünüyo yazdığım benden bu kadar :]

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
(a,b)=d olsun. a=a/d ve b=b/d olarak tanimlayalim. Bu durumda ab=dab ve a2+b2=da2+b2 olur.

Yani d=1 secebiliriz. Secmesek de sorumuz artik ab ve a2+b2  ile ilgilenecegiz.

ab sayisinin bir tam sayi olmasi icin a=n2 ve b=m2 olacak sekilde aralarinda asal n,m sayilari olmali.

Bu durumda aralarinda asal n4+m4 bir adet tam sayinin karesi olmali. Yani bir adet s tam sayisi icin n4+m4=s2 olmali.

Fermat'in son teoreminden dolayi (biraz daha is yaparak) bu sistemin pozitif tam sayi uclusu cozumu olamayacagini soyleyebiliriz. 

Demek ki bu sekilde a,b pozitif tam sayilari bulamayiz.
(25.6k puan) tarafından 
x4+y4=z2 denkleminin tam sayi cozumleri
0 beğenilme 0 beğenilmeme

ab tam sayı ise içerideki ifade bir tam kare olmalıdır.a=b olmak zorundadır.Bu ifadeyi ikinci de yazarsak.2.(a2) olur ki bunun da tam sayı olma ihtimali yoktur.

(11.1k puan) tarafından 

Ilk cumle dogru ama ikincisi degil. Ornek bulmak da zor degil (ipucu: ab=16 olabilir)

Ozgur hakli. a=9 ve b=4 de olabilir. a=36 ve b=4 de.

Hayır hocam kast ettiğim o formda yazılabilecekler idi.a=36 ve b=4 içi sayılar yine 12.12 şeklinde yazılabilir demek istemiştim.

1. Ama oyle yazmamissin :)

2. Bunu yaptiginda a2+b2 toplamini degistiriyorsun. OK. 122+122 tam sayi degil. Ama 362+42 ifadesinin de tam sayi olmadigini soylemen lazim, 722+22 ifadesinin de tam kare olmadigini soylemen lazim vs vs. Derdim anlasilmistir umarim.

Son durum nedir? Ben de ispatin bu halinin yanlis oldugu kanisindayim.

Doğru hocam a ve b kareleri aynı şekilde yazsak bile değişiyor ispatim yanlış.

20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,724 kullanıcı