p(x)=xp−1+2xp−2+⋯+(p−1)x+p olsun. Z[x] halkasındaki indirgenemezlikten bahsediliyor diye tahmin edip ona göre yazıyorum.
İddia: p polinomunun tüm köklerinin normu
1'den büyüktür.
İspat: Diyelim ki a sayısı p polinomunun (karmaşık) bir kökü olsun. O halde, 0=(a−1)p(a)=ap+ap−1+⋯+a−p olur. Diyelim ki ‖a‖≤1 olsun. Bu durumda p=‖ap+ap−1+⋯+a‖≤p∑i=1‖a‖i≤p eşitsizliği çıkar ki, ancak ‖a‖=1 iken bu durum sağlanır, yani a birim çember üzerinde. θ, a'nın x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı olmak üzere a=eiθ yazabiliriz. ap+ap−1+⋯+a=p denkleminin bir sonucu olarak cospθ+cos(p−1)θ+⋯+cosθ=p eşitliğini elde ederiz. p tane sayısının toplamı p olmuş ve bu sayıların her biri en fazla 1 olabilir. Demek ki ki her biri 1, yani θ=0 yani a ancak 1 olabilir. Ama p(1)≠0. O halde ‖a‖>1.
Diyelim ki p polinomu Z[x] halkasında indirgenebilir olsun, yani p(x)=q(x)r(x). Buradan p=p(0)=q(0)r(0) sonucu elde edilir. q(0) ve r(0) birer tamsayı olduğuna göre ya q(0)=±1 ya da r(0)=±1. Diyelim ki q(0)=±1. .
Şimdi q polinomunun tüm (karmaşık) kökleri q1,…,qm olsun. Bu kökler aynı zamanda p polinomunun da kökleri oldukları için her birinin normu 1'den büyük. q polinomunu q(x)=m∏i=1(x−qi) olarak yazalım. Buradan, 1=|q(0)|=‖(−1)mm∏i=1qi‖=m∏i=1‖qi‖>1 ifadesi elde edilir ki, çelişki.
---
Çok ilginç bir soru.