Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
507 kez görüntülendi

p asal bir sayi ise xp1+2xp2++(p1)x+p indirgenemez oldugunu gosteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (25.5k puan) tarafından  | 507 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
p(x)=xp1+2xp2++(p1)x+p olsun. Z[x] halkasındaki indirgenemezlikten bahsediliyor diye tahmin edip ona göre yazıyorum.

İddia: p polinomunun tüm köklerinin normu 1'den büyüktür.
İspat: Diyelim ki a sayısı p polinomunun (karmaşık) bir kökü olsun. O halde, 0=(a1)p(a)=ap+ap1++ap olur. Diyelim ki a1 olsun. Bu durumda p=ap+ap1++api=1aip eşitsizliği çıkar ki, ancak a=1 iken bu durum sağlanır, yani a birim çember üzerinde. θ, a'nın x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı olmak üzere a=eiθ yazabiliriz. ap+ap1++a=p denkleminin bir sonucu olarak cospθ+cos(p1)θ++cosθ=p eşitliğini elde ederiz. p tane sayısının toplamı p olmuş ve bu sayıların her biri en fazla 1 olabilir. Demek ki ki her biri 1, yani θ=0 yani a ancak 1 olabilir. Ama p(1)0. O halde a>1.

Diyelim ki p polinomu Z[x] halkasında indirgenebilir olsun, yani  p(x)=q(x)r(x). Buradan p=p(0)=q(0)r(0) sonucu elde edilir. q(0) ve r(0) birer tamsayı olduğuna göre ya q(0)=±1 ya da r(0)=±1. Diyelim ki q(0)=±1. .

Şimdi q polinomunun tüm (karmaşık) kökleri q1,,qm olsun. Bu kökler aynı zamanda p polinomunun da kökleri oldukları için her birinin normu 1'den büyük. q polinomunu q(x)=mi=1(xqi) olarak yazalım. Buradan, 1=|q(0)|=(1)mmi=1qi=mi=1qi>1 ifadesi elde edilir ki, çelişki.

---

Çok ilginç bir soru.
(1.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,729,376 kullanıcı