Question

Analitik fonksiyonlarin kapali bir egri uzerindeki integrali neden sifir? ve analitik olmazsa sifir olamayan bir integral ornegi var mi?

Answer 1

Analitik fonksiyonlarin kapali bir egri uzerindeki integrali her zaman sifir degil.

Ornegin $\frac{1}{z}$ fonksiyonu $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ kumesinde analitik. $\gamma : [0,1] \to S^1$ egrisi de $\gamma(t) = e^{2\pi i t}$  ile verilen egri olsun. O zaman,

$$\int_\gamma \frac{1}{z}dz = \int_0^{1} \frac{1}{e^{2\pi i t}}2\pi i e^{2 \pi it}dt = 2\pi i \int_0^1 dt= 2\pi i.$$

Bu ikinci soruna da cevap. $\frac{1}{z}$ fonksiyonu $\mathbb{C}$ uzerinde analitik degil, sifir olamiyor. 

Ilk sorunu once duzeltip, sonra cevaplayabiliriz:

Cauchy Integral Teoremi: $U \subseteq \mathbb{C}$ basit baglantili bir acik kume olsun ve $f: U \to \mathbb{C}$ analitik olsun. $\gamma$ egrisi de $U$ icinde bir kapali egri olsun (her kapali egri icin de dogru oldugunu dusunmuyorum, cilgin egriler almamamiz lazim.). O zaman, $f$' nin $\gamma$ uzerindeki integrali sifirdir.

Bunu gostermekle sunu gostermek ayni sey:

Cauchy Integral Teoremi ( Versiyon 0): $U \subseteq \mathbb{C}$ basit baglantili bir acik kume olsun ve $f: U \to \mathbb{C}$ analitik olsun. $a, b \in U$ ve $\gamma_1, \gamma_2$ egrileri $a$'da baslayan $b$'de biten (ve $U$'nun disina cikmayan) iki egri olsun. O zaman $f$'nin $\gamma_1$ uzerindeki integrali ile $\gamma_2$ uzerindeki integrali aynidir. Yani, integral iki noktaki arasindaki yoldan bagimsizdir.

Neden bu iki teorem birbirine denk? Cunku her kapali egriyi su sekilde iki parcaya ayirabiliriz: $a$ ve $b$ noktalari, $\gamma$ egrisi uzerinde iki farkli nokta olsun. O zaman $\gamma$, $a$'dan $b$'ye giden ve $b$'den $a$'ya giden iki egrinin toplami olarak yazilabilir. 

Ikinci teoremi ispatlamak icin de cok bir sey gerekmiyor. Kalkulus'ten Green teoremi ve analitiklik icin Cauchy-Riemann denklemleri yeterli. Fonksiyonumuzu $f = u + iv$ ve holomorfik formumuzu $dz = dx + i dy$ olarak yazarsak eger, integrali yazdigimiz ve reel-karmasik parcalarina ayirdigimiz zaman sonuc kendiliginden cikiyor.