Riemann'ın gerçel integral için uç sınırlar arasını sonsuz kesite bölme fikrini karmaşık düzlemde genelleştirmeye kalktığımızda ara noktaların (iki boyutlu bir düzlemde oldukları için) seçiminin bariz olmadığını görürüz. Onun için karmaşık integraller biraz farklı tanımlanıyor.
Önce şu $C$ ile gösterilmiş eğrinin genel tanımını paylaşmak istiyorum.
Tanım: $m\in\{1,...,\infty \}$, $\emptyset\neq U\subseteq \mathbb{C}$ açık, $\alpha,\beta\in \mathcal{R}$, $\alpha<\beta$ ve $C:[\alpha,\beta]\rightarrow U$ olsun. Eğer hem $[\alpha,\beta]$'nın bir $G=(t_0,t_1,...,t_N)$ ayrışımı varsa -yani $\alpha=:t_0<t_1<...<t_{N-1}<t_N:=\beta$- hem de $C$ sürekli ve $C\vert_{[t_{j-1},t_j]}\in \textbf{C}^m([t_{j-1},t_j],\mathbb{C})$ (=sürekli türevlenir göndermeler kümesi) ise, o zaman $C$ göndermesine bir (parça parça) $\textbf{C}^m$ yolu/eğrisi denir. $C$'nin görüntüsü $iz(C):=C([\alpha,\beta])$'ye $C$'nin izi denir.
Bundan sonra $C:[\alpha,\beta]\rightarrow U$ bir $\textbf{C}^1$ eğrisi olsun.
$lim_{t\searrow t_{j-1}}C'(t)$, $lim_{t\nearrow t_{j}}C'(t)$ $\mathbb{C}$'de mevcuttur. Bu durumda $C'\vert_{]t_{j-1},t_j[}$'yi sürekli bir $C'_j:[t_{j-1},t_j]\rightarrow\mathbb{C}$ fonksiyonuna tamamlayabiliriz. $C'(t_j)\neq C'_{j+1}(t_j)$ de olabileceği için $C'$'yi bütün $[\alpha,\beta]$'da tanımlayamıyoruz.
Bunun yerine $\dot{C}:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{C},t\mapsto $ $\begin{cases} C'(t) & \forall t\in [\alpha,\beta]\backslash\{t_0,...,t_N\} \\
(0 & \forall t\in\{t_0,...,t_N\} \end{cases} $
( $[\alpha,\beta]$ üzerinde sınırlı, $]t_{j-1},t_{j}[$ üzerinde sürekli) işimizi görecek.
Karmaşık düzlemdeki $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ noktaları için $z_1=C(\alpha)$, $z_2=C(\beta)$ olacak şekilde bir $C$ eğrisi seçelim.
Tanım: $f:iz(C)\rightarrow \mathbb{C}$ sürekli olsun. O zaman
$\int_C f(z)dz:=\int_\alpha^\beta f(C(t))\dot{C}(t)dt$'ye
$C$ eğrisi boyuncaki (eğri) integrali denir.
$\dot{C}$ ve $f$'nin tanımlarına göre bunu Riemann integrallerinin toplamı olarak da yazabiliriz:
$\int_C f(z)dz=\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\int_{t_{j-1}}^{t_j} f(C(t))C'_j(t)dt$.
Şimdi örn. $f(z):=\frac{1}{z-0.5i}$, $z_1=-1+i$, $z_2=1+i$, $\alpha=0$, $\beta=1$ $C_{çizgi}:=(2t-1+i)$, $C_{parabol}:=(2t-1)+i(2t-1)^2$ yolları boyuncaki integraller arasında bir fark olabileceğini (ilki $-2.2143i$, ikincisi $6.22254\cdot 10^{-9} + 4.06889 i$ ) görebiliriz.