$a$'dan $a$'ya belirli integral değeri neden sıfıra eşit?

Question

Sınırları a'dan a'ya olan bir belirli integralde sonuç neden 0? Herhangi bir koordinata paralel olan o doğrunun kapladığı bir alan yok mu?

Comments

Alan iki boyutta olur, $a$'dan $a$'ya olunca olusan cizgi tek boyuta iner. Bu da bir alan olusturmaz. Derece 3te de hacim olusturmaz, ....

Guzel cevaplar gelecegine inaniyorum.

---

Herhangi bir kordinata paralel olan a dan a ya doğru nasıl oluyor ki hocam ben tam anlayamadm 

---

Peki doğrunun kapladığı bölge nedir? Yada şöyle sorayım orada bir doğru oluşur mu sizce hocam?

---

Bu integralin sonucu 0 fakat benim kafama takılan şu doğrunun kapladığı bir alan yok mu yani eğrinin altında kalan çok çok ufakta olsa bir değer yok mu?

---

Bence dogu olusur ama tabani sifir olan bi dikdortgen olarak alan 0'a esit olur. Alan iyi tanimli ve bu iyi tanimlilik bunu gerektirir diye dusunuyorum.

---

$f(x)$ bir $[a,b]\quad (a<b)$ aralığında sürekli olsun. $y=f(x),\ a\leq x\leq b$ eğrisinin "alanının 0" olması gerektiğine şöyle ikna olabiliriz:

$\varepsilon>0$  olsun, Bu eğri, birlesimlerinin içinde kalacak şekilde toplam alanı en çok $\varepsilon$ olan dikdörtgenler kuracağız. Sürekli fonksiyonların tıkız kümelerde düzgün sürekliliği teoreminden, (https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_2.pdf sayfa 259 Teorem 14.7)

$t_1,t_2\in [a,b]\text{ ve } |t_1-t_2|<\delta \text{ olduğunda }|f(t_1)-f(t_2)|<\frac\varepsilon{2(b-a)}$

olacak şeklide bir $\delta>0$ sayısı vardır.$n$ sayısını $\delta<\frac{b-a}n$ olacak kadar büyük seçelim. $x_i=a+\frac{b-a}n i\quad (i=0,1,2,\ldots,n)$ olsun. Her bir $[x_{i-1},x_i]$ aralığında sol alt köşesi $(x_{i-1},f(x_{i-1})-\frac\varepsilon{2(b-a)})$ de, taban uzunluğu $\frac{b-a}n$ yüksekliği $\frac\varepsilon{b-a}$ olan ($n$ tane) dikdörtgenler çizelim. $\delta$ seçiminden, $x_{i-1}\leq x\leq x_i$ aralığında $y=f(x)$ eğrisi (soldan) $i$ nci dikdörtgenin içinde kalır. Dolayısıyla tüm eğri dikdörtgenlerin birleşiminin içinde kalır. Her bir dikdörtgenin alanı $\frac\varepsilon{n}$ olduğundan alanları toplamı (birbirlerine sadece kenarlarda değdikleri için) tam olarak $\varepsilon$ dir. Buradan, "eğrinin alanının" , her (pozitif) $\varepsilon$ sayısından küçük olması gerektiği dolayısıyla sıfır olması gerektiği sonucu elde edilir.

Answer 1

 $\left.\int_a^a f(x)\,dx=\left(F(x)+c\right)\right|_a^a =F(a)-F(a)+c-c=0$ oluyor ve başlangıç ve bitiş noktası aynı olan birşeyin altındaki alan sanki noktanın altında kalan oluyor noktanın alanı hakkında yok desem altınDaki alanda yoktur sanki 

Answer 2

Riemann integrali ilk basta $b>a$ olmak uzere $[a,b]$ araligi uzerinde tanimli sınırlı fonksiyonlar icin tanimlanir.

Sınırlı olmasi onemli cunku tanimda ust toplam icin dikdortgen alani hesaplamada supremum kullanilir. Bu toplamlarin hepsinden buyuk sonlu bir sayi da var oldugundan infimum ile var olan ust integral degeri bulunur. (Benzer sekilde de alt toplam ve alt integral de hesaplanir).

Burada toplamlar, islemler vs guzeldir. Sonsuz vs gibi kavramlar yoktur. Gercel sayilar kumesi icerisinde eglenceli bir hesaplama yapariz.

(Daha sonra bu fikri kapali olmayan araliklar ve sınırlı olmayan  fonksiyonlar icin de genisletip has olmayan Riemann integralinden soz ederiz. Burada isin icine sonsuz ya da iraksama gibi kavramlar da girebilir.)

Bu Riemann (aslinda/ya da Darboux) integrali tanimindan sonra birkac ozellik ispatlanir. Bunlardan biride $c\in (a,b)$  olmak uzere $[a,c]$ ve $[c,b]$ arasindaki integralin toplami (var olmasiyla birlikte) $[a,b]$ uzerindeki integrale esit olmasidir.

Tanimi genisletme adina $b>a$ kosulunu genisletigimizde, $a$ ve $b$ degerlerini herhangi gercel sayilar olarak sectigimizde, bu ozelligin (vb) devam etmesi icin 
(1) $b=a$ ise integral degerini $0$ olarak tanimlariz. 
(2) $b<a$ ise $a$'dan $b$'ye integrali $[b,a]$ uzerindeki integralin toplamaya gore tersi olarak tanimlariz.
(Tabii integral degerleri var ise).


Soru: Rasyonel sayilar uzerinde $0$ ve irasyonel sayilar uzerinde $1$ degerini alan fonksiyonun $0$'dan $0$'a integrali nedir ya da nasil tanimlanir ya da nasil tanimlanmalidir? 
(a) 0 (b) tanimsiz