Eğrinin eksenleri kestiği noktalardaki teğet denklemleri

Question

$ y^2=(4+x)^3  $ eğrisinin x ve y eksenlerini kestiği noktalardaki teğet denklemlerini bulunuz.

Answer 1

Bu eğri $x$ eksenini $y=0$ için $x=-4$'de  ve $y$ eksenini de $x=0$ için (0,8),(0,-8)$ noktalarında keser.  

$2y\frac{dy}{dx}=3(4+x)^2\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3(4+x)^2}{2y}$ olur.  $(-4,0)$ noktasında eğrinin herhangi teğeti sözkonusu değildir.Çünkü  bu nokta aşağıdaki yorumlardan da anlaşılacağı gibi, köşe ,sivri yahut "cusp" nokta olarak adlandırılan bir nokta var.

$(0,-8)$ deki eğim: $\frac{dy}{dx}=-3$ ve $(0,8)$ deki eğim: $\frac{dy}{dx}=3$ olduklarından Bu noktalardaki teğet denklemleri sırası ile, $y+8=-3x$ ve $y-8=3x$ olacaktır.

Comments

$y=0$ için $\frac{dy}{dx}$ de hem pay hem payda 0. Teğet eğimini o formülden bulamayız.

Aslında o noktada teğet yok sivri köşe var. $y^2=x^3$ eğrisinde olduğu gibi.

---

Doğan Hocam o nokta "cusp noktası" sanırım. O nokta "smooth" değil  "sivri" bir nokta ama bahsettiğiniz eğri parametize edildiğinde parametre fonksiyonları türevli olduğundan eğrinin de türevli olması gerekmez mi? Eğrimiz  y =|x| şeklinde olsaydı sivri noktada türev olmazdı ama burada olmalı çünkü bu eğrinin kollarına çizilen teğetlerin eğimleri noktaya yaklaşıldıkça sezgisel olarak birbirlerine yaklaşıyor.

---

Evet, bu tip tekilliklere "cusp" deniyor.

Parametrize eden fonksiyonların türevlenebilir olması eğrinin "düzgün" olması için yeterli değildir.. $y^2=x^3$ eğrisi (Bu eğriye Neil in parabolü" deniyor, parabol olmadığı halde) $x=t^2,\ y=t^3$ şeklinde türevlenebilen fonksiyonlarla parametrize edilebiliyor ama bu fonksiyonların türevlerini ortak bir kökü var. "Düzgün eğri" değil. (düzgün eğri: hiç bir noktada teğet vektörü sıfır olmayacak şeklide parametrize edilebilen eğri (Diferansiyel Geometrideki adıyla "daldırma"=immersiyon=immersion)

---

http://math.stackexchange.com/questions/496815/why-does-the-derivative-not-exist-at-a-cusp

---

Koordinat fonksiyonlarının türevli olması dediğiniz gibi eğrinin düzgün olması için yeterli değildir ama eğrinin türevli olması için yeterli değil midir? Bahsettiğiniz üzere bir eğrinin hız vektörünün boyunun sıfır olduğu  kritik noktaları da olabilir. Eğrinin türevli olması hiç köşe noktası yoktur anlamına gelmiyor. Acaba eğrinin türevli olması her noktasında bir tanjant vektörü garantiler mi? $(t^3,t^2)$ eğrisi veya sizin verdiğiniz eğri türevli bir eğri midir? Öyleyse $x = 0$ noktasındaki "teğeti" için ne düşüneceğiz?

---

Doğan Hocam, belirttiğiniz doğrultuda çözümü düzenledim. Teşekkür ederim.

Belirttiğiniz gibi  noktanın bir sivri ya da "cusp" noktası olduğunu kanıtlamanız mümkün mü acaba?